Hardy-tér

A komplex analízis területén a Hardy-tér $H^{p}$ olyan egységkörben (azaz az egységkörlapon) vagy felső félsíkon definiált holomorf függvények tere, amelyeknek az értelmezési tartomány peremén értelmezett $p$-normája korlátos. Riesz Frigyes vezette be 1923-ban, Godfrey Harold Hardy 1915-ös cikkéből kiindulva.

A valós analízisben a Hardy-tér olyan valós számegyenesen definiált disztribúciók tere, melyek komplex Hardy-terek holomorf függvényeinek peremértékeinek felelnek meg. Ha $p$ legalább 1, akkor a Hardy-terek a funkcionálanalízisben használt L^p-terek bizonyos részhalmazainak tekinthetők.

A Hardy-terek jelentősek a matematikai analízis területén, továbbá az irányítástechnikában és a szóráselméletben.

Hardy-terek az egységkörben

Legyen $\mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :\ |z|<1\}$ a komplex egységkörlap. Adott pozitív valós $p$-re a Hardy-tér $H^{p}(\mathbb {D} )$ olyan egységkörlapon definiált holomorf függvények vektortere, melyekre a következő teljesül:

$\sup _{0\leq r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{p}d\theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty$.

Az egyenlőtlenség bal oldala $p\geq 1$ esetén egy norma, melyet általában $\|f\|_{H^{p}(\mathbb {D} )}$-vel jelölnek. A $H^{p}(\mathbb {D} )$-norma növekszik $p$-vel a Hölder-egyenlőtlenség következtében.

A $H^{\infty }(\mathbb {D} )$-vel jelölt Hardy-tér olyan egységkörlapon definiált holomorf függvények vektortere, melyek a

$\|f\|_{H^{\infty }(\mathbb {D} )}=\sup _{|z|<1}|f(z)|$

normára tekintve korlátosak.

Ha $0<p<q\leq \infty$, akkor $H^{q}(\mathbb {D} )$ valós részhalmaza $H^{p}(\mathbb {D} )$-nek.

Hardy-terek a felső félsíkon

Legyen $\mathbb {H} =\{x+iy\in \mathbb {C} :\,y>0\}$ a felső komplex félsík. A Hardy-tér $H^{p}(\mathbb {H} )$ olyan $f:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ holomorf függvények tere, melyekre teljesül:

$\sup _{y>0}\left(\int _{-\infty }^{\infty }|f(x+iy)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}<\infty$.

Az egyenlőtlenség bal oldala szintúgy egy norma, jelölés szerint $\|f\|_{H^{p}(\mathbb {H} )}$. Abban az esetben, amikor $p=\infty$, a norma a következő: $\textstyle \|f\|_{H^{\infty }(\mathbb {H} )}=\sup _{z\in \mathbb {H} }|f(z)|$.

Amikor általánosságban van szó Hardy-terekről, a szöveg kontextusából nyilvánvalóvá válik, hogy mi a térben levő függvények értelmezési tartománya, így a $H^{p}(\mathbb {D} )$-tér és a $H^{p}(\mathbb {H} )$-tér helyett a $H^{p}$-tér jelölés a legelterjedtebb.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Hardy space című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Hardy-Raum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.