Feuerbach-kör

A geometriában a Feuerbach-kör vagy „a kilenc pont köre” egy nevezetes kör, amely bármely háromszöghöz megszerkeszthető. Kilenc nevezetes ponton megy át, melyek közül hat a háromszög oldalain található, ha a háromszög nem tompaszögű.

A Feuerbach-kört nevezik még Euler-körnek (nem összetévesztendő a gráfelméletben ismeretes Euler-körrel), Terquem-körnek, a hatpontú körnek, a tizenkétpontú körnek vagy n-pontú körnek is.

A Feuerbach-kör tehát azonos a felezésponti háromszög körülírható körével, a talpponti háromszög körülírható körével és azzal a körrel, melyet a körülírható körből a magasságpontra, mint középpontra vonatkozó 1/2 arányú kicsinyítéssel kapunk.

Tétel

A Feuerbach-kör átmegy a következő pontokon:

a háromszög oldalfelező pontjai,
a háromszög magasságainak talppontjai,
a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai.^{[* 1]}

Bizonyítás vektorokkal

A három csúcs szerepének egyenrangúsága miatt elég, ha a tételben említett háromfajta pont közül egy-egyre bizonyítjuk. Kell, hogy $F_{c}$ , $T_{c}$ , $M_{3}$ az $OM$ szakasz $K$ felezőpontjától ${\frac {r}{2}}$ távolságra vannak, ahol $r$ a körülírt kör sugarát jelenti.

${\vec {k}}={\frac {\vec {m}}{2}}={\frac {{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}}{2}}$ ; ${\vec {F_{c}}}={\frac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}}$ ; ${\vec {KF_{c}}}={\vec {F_{c}}}-{\vec {k}}=-{\frac {\vec {c}}{2}}\longrightarrow {\vec {KF_{c}}}={\frac {r}{2}}$ , azaz $|{\vec {c}}|=r$ .

$MC$ szakasz $M_{3}$ felezőpontjának ${\vec {m_{3}}}={\frac {{\vec {m}}+{\vec {c}}}{2}}={\vec {k}}+{\frac {\vec {c}}{2}}$ helyvektora $\longrightarrow |{\vec {KM_{3}}}|={\frac {r}{2}}$ .

Kell, hogy $F_{c}$ , $M_{3}$ szakasz a $K$ körül ${\frac {r}{2}}$ sugárral írt kör átmérője, hiszen ${\vec {KF_{c}}}$ és ${\vec {KM_{3}}}$ csak előjelben különbözik. A Thalész-tétel miatt a $C$ -ből húzott magasság $T_{c}$ talppontja is ugyanazon a körön van, hiszen e pontból ( $F_{c}\neq T_{c}$ ) az $F_{c}\ M_{3}$ szakasz derékszög alatt látszik.

Bizonyítás négyszögekkel

Az ábra jelöléseivel az F_bM₁M₂F_a négyszög téglalap. Az F_bM₁ szakasz a pontok definíciója alapján az AMC háromszög középvonala, azaz párhuzamos a CM szakasszal. Ugyanezért F_aM₂ szakasz is párhuzamos vele, tehát egymással is párhuzamosak.^{[* 2]}

Az AMB háromszög középvonala M₁M₂, az ACB háromszögé F_aF_b, és mindkettő az AB oldallal párhuzamos, tehát párhuzamosak és egyenlő hosszúak. Továbbá CM merőleges mindkettőre, mivel az ACB egyik magasságvonala.

A téglalap húrnégyszög, a köré írható kör Q középpontja az átlók felezőpontja: $Q=F_{b}M_{1}\cap F_{a}M_{2}$

Hasonlóan vezethető le, hogy M₃M₂F_cF_b négyszög is téglalap. A két téglalap egy átlója közös, tehát a köréjük írható körök egybeesnek. A középháromszög csúcsai és az oldalfelező pontok tehát egy körön vannak.

Az M₃F_c a kör átmérője, M₃T_c pedig merőleges AB-re, így T_cF_c-re is. A Thalész-tétel alapján tehát T_c is ezen a körön van, valamint hasonló okokból T_a és T_b is. QED

Nevezetes pontok

A bizonyításhoz készült ábra az ABC háromszög Feuerbach-körének kilenc nevezetes pontját mutatja, ezeket piros színnel jelöltük. A Feuerbach-kör középpontja az M magasságpont és az O körülírható kör középpontját összekötő szakasz felezéspontja (K), az MO szakasz pedig az Euler-egyenesbe esik. A kör ívén elhelyezkedő kilenc nevezetes pont: F_a, F_b és F_c a háromszög oldalainak felezéspontjai, T_a, T_b és T_c a háromszög magasságvonalainak talppontjai, M₁, M₂ és M₃ pedig a rendre a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezéspontjai, azaz a középponti háromszög csúcsai.

Az ábrából kiolvasható, hogy ha a háromszög egyenlő szárú, akkor a Feuerbach-körnek a háromszög alapja az érintője. Ennek következtében a szabályos háromszög esetén a Feuerbach-kör és a beírt kör megegyezik.

Érintő körök

1822-ben Karl Feuerbach felfedezte, hogy bármely háromszög kilenc pont köre kívülről érinti a háromszög hozzáírt köreit és a beírt kört is érinti, ezt szokták Feuerbach-tételnek nevezni. Azt állította:

…a kör, ami keresztülmegy a háromszög magasságainak talppontjain, érinti mind a négy kört, amik a háromszög oldalait érintik…

A pontot, ahol a beírt kör és a kilenc pont köre érintkeznek, Feuerbach-pontnak is szokás hívni. Ez a pont szabályos háromszögben definiálatlan, hiszen ekkor az előző szakaszban említettek okán e két kör egybeesik.

A Feuerbach-kör tulajdonságai

A Feuerbach-körrel kapcsolatban több érdekes állítás is tehető. Ezek közül néhány ismertebbet sorolunk fel.

Tétel

A Feuerbach-kör sugara feleakkora, mint a háromszög körülírt körének sugara.

Bizonyítás

A Feuerbach-kör átmegy a középponti háromszög csúcsain. Ez a háromszög az eredeti háromszög 1:2 arányú kicsinyített képe, így a köré írható körök sugara is ugyanígy aránylik egymáshoz. QED

Tétel

A Feuerbach-kör középpontja rajta van a háromszög Euler-egyenesén, és éppen felezi a háromszög magasságpontja és a körülírt kör középpontja közötti szakaszt.

Bizonyítás

A talpponti és a középponti háromszög csúcsai rajta vannak Feuerbach-körön. A két háromszög egybevágó, egymásból egy 180°-os elforgatással származtathatóak. A két háromszög magasságpontja az eredeti háromszög magasságpontja, illetve a köré írható kör középpontja. Ezeket a forgatás egymásba viszi át, a forgatási középpont pedig a Feuerbach-kör középpontja,ebből már adódik az állítás.^[1] QED

Tétel

A háromszög körülírt körének bármely pontját a magasságponttal összekötő szakasz felezőpontja rajta van a Feuerbach-körön.

Bizonyítás

Legyen a Feuerbach kör középpontja F, a köré írható köré O, a háromszög magasságpontja pedig M. A köré írható körön vegyünk fel egy P pontot! A PM szakasz felezőpontja legyen Q!

A PMO és a QMF háromszögek hasonlóak, mivel QF előbbinek a középvonala. Továbbá 2·QF=PO ugyanezen okból. Mivel PO a köréírható kör sugara, ennek fele pedig a Feuerbach-köré, ezért ez utóbbi éppen QF-fel egyenlő. Ez azt jelenti, hogy Q a Feuerbach-kör egyik pontja.^{[* 3]} QED

Bizonyítás II.

Mivel az MO szakasz felezőpontja F, ezért az M pont lehet egy λ=2 arányú hasonlóság középpontja is. Ekkor a Feuerbach-kör képe a háromszög köré írható kör lesz. QED

Tétel

Ha a háromszög derékszögű, akkor az átfogóhoz tartozó súlyvonal a Feuerbach-kör egyik átmérője.

Bizonyítás

A Feuerbach-kör középpontja felezi a magasságpont és a köréírható kör középpontja közötti szakaszt. Derékszögű háromszög esetén előbbi a derékszögű csúcs, utóbbi az átfogó felezőpontja, a kettő közötti szakasz tehát az átfogóhoz tartozó súlyvonal. QED

A Feuerbach-kör az ortocentrikus pontnégyesekkel is szoros kapcsolatban van. Ezt az alábbi két állítás mutatja meg.

Tétel

Egy ortocentrikus pontnégyesből megalkotható mind a négy háromszögnek ugyanaz a Feuerbach-köre.

Bizonyítás

Tétel

A beírt kör és a hozzáírt körök középpontjai ortocentrikus pontnégyest alkotnak. A pontnégyeshez tartozó Feuerbach-kör éppen az eredeti háromszög körülírt köre. Az ortocentrikus pontnégyes által meghatározott háromszög magasságtalppontjai éppen az eredeti háromszög csúcspontjai.

Bizonyítás

Felfedezése

Bár Karl Wilhelm Feuerbachnak tulajdonítják a felfedezését, valójában még csak nem is ő fedezte fel a maga teljességében a kilenc pont körét. Feuerbach megtalálta a hat pont körét, felismerte a háromszög oldalfelező pontjainak és a magasságok talppontjainak a jelentőségét (az első ábrán az F_a, F_b, F_c, T_a, T_b és T_c pontok.) (Valamivel korábban Charles Brianchon és Jean-Victor Poncelet kimondta és bebizonyította ugyanazt a tételt.) Nem sokkal Feuerbach után, Olry Terquem bizonyította a kör létezését. Ő volt az első, aki felismerte a jelentőségét a másik három pontnak, azaz a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjainak. (az első ábrán az M₁, M₂ és M₃ pontok.) Így Terquem volt az, aki a kilenc pont köre kifejezést először használta.

Megjegyzések

↑ Ezt nevezzük középponti háromszögnek is
↑ Ez a párhuzamosság tranzitivitásának a következménye.
↑ Ebben a bizonyításban a QF⊆PM eset nincsen külön kezelve, az egy elfajult háromszöget eredményez ugyanis.

Jegyzetek

↑ H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Az újra felfedezett geometria. Gondolat, 44. o. (1977). ISBN 963 280 512 7

Források

Dr. Pelle Béla. Geometria. Tankönyvkiadó (1974). ISBN 963 17 0746 6
H. S. M. Coxeter. A geometriák alapjai. Műszaki könyvkiadó (1987). ISBN 963 10 6843 9

Külső hivatkozások

KöMaL: A Feuerbach-kör érinti az érintő köröket Archiválva 2006. július 21-i dátummal a Wayback Machine-ben
Nine Point Center by Antonio Gutiérrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
History about the nine-point circle based on J.S. MacCay's article from 1892: History of the Nine Point Circle
Nine Point Circle in Java at cut-the-knot
Feuerbach's Theorem: a Proof at cut-the-knot
Special lines and circles in a triangle (requires Java)

[1] Ezt nevezzük középponti háromszögnek is

[2] Ez a párhuzamosság tranzitivitásának a következménye.

[4] Ebben a bizonyításban a QF⊆PM eset nincsen külön kezelve, az egy elfajult háromszöget eredményez ugyanis.

[Coxeter-3] H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Az újra felfedezett geometria. Gondolat, 44. o. (1977). ISBN 963 280 512 7

[* 1]

[* 2]

[1]

[* 3]