Euler-egyenes

Az Euler-egyenes egy Leonhard Euler által felfedezett egyenes, ami a háromszög megadott három (illetve négy) pontjára illeszkedik. Az egyenes jelentősége egyes szerkesztések esetén lényeges.

Tétel

Az Euler-egyenes a P, G és O pontokon halad keresztül. Itt P a magasságpont, G a súlypont és O a köré írt kör középpontja.

Egy ABC háromszögben a magasságpont, a súlypont és a köréírt kör középpontja egy egyenesre esik. Ezt nevezzük a háromszög Euler-egyenesének.

Speciálisan ha a háromszög szimmetrikus, akkor az Euler-egyenes a háromszög szimmetriatengelye is egyúttal.

Szabályos háromszögek esetén a három pont egybeesik, ekkor bármely, ezt a pontot tartalmazó egyenes lehet Euler-egyenes.

Ha a háromszög derékszögű, akkor Euler-egyenese az átfogóhoz tartozó súlyvonal egyenese: ilyenkor ui. az átfogó felezőpontja (a Thalész-tétel megfordítása értelmében) a körülírt kör középpontja, továbbá a derékszögű csúcs a magasságpont.

Bizonyítható az is, hogy a Feuerbach-kör középpontja is ezen az egyenesen van, és felezi a magasságpont és a köréírható kör középpontja közötti szakaszt.

Bizonyítás

Háromszögek hasonlóságával

Euler egyenes bizonyítása

Legyen az ABC háromszög magasságpontja M, súlypontja S és a köré írható kör középpontja O. Az oldalfelező pontok rendre F_A, F_B és F_C. Az F_AF_BF_C háromszög hasonló az ABC-hez, és λ=2 a hasonlóság aránya. Az F_CO szakasz merőleges az F_AF_B szakaszra, így mgfelel a CM szakasznak.

Mivel S rajta van a CF_C szakaszon, ezért az OF_CS∠ és SCM∠ szögek, mivel párhuzamos szárú szögek, egyenlőek. Továbbá CS=2·SF_C, ezért SOF_C△~SMC△. Ezen okból OSF_C∠=MSC∠, amik csúcsa közös, egyik száruk egy egyenesen van, ezért a másik száruk is. QED

Transzformációval

Ha az ABC háromszöget az S súlypontra λ=-1/2 arányú hasonlósággal leképezzük, az F_AF_BF_C háromszöget kapjuk. Az ABC háromszög súlyvonalai az F_AF_BF_C háromszög súlyvonalai lesznek. Mivel ez utóbbi a súlyponti háromszög, a magasságvonalai az eredeti háromszög oldalfelezői. Így a magasságpont hasonló képe a köréírható kör O középpontja lesz. Mivel pont és képe által meghatározott egyenes tartalmazza a hasonlóság centrumát, a tételt bebizonyítottuk. QED

Források

• Gerőcs László, Bereczky Áron, Csányi Tibor, H. Temesvári Ágota, Katona Dániel, Kós Géza, Lerchner Szilvia, Máté László, Nagy Noémi, Németh László, Szakál Péter, Szűcs Zsolt.szerk.: Gerőcs László, Vancsó Ödön: Matematika. Akadémiai Kiadó (2010). ISBN 978 963 05 8488 3 
• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Az újra felfedezett geometria. Gondolat [1967] (1977). ISBN 963 280 512 7 
• Dr. Pelle Béla. Geometria. Tankönyvkiadó (1974). ISBN 963 17 0746 6 

További információk

• Euler-egyenes a MathWorldön
• Altitudes and the Euler Line at cut-the-knot
• Euler Line and 9-Point Circle at cut-the-knot