Erdős–Szemerédi-tétel

Az Erdős–Szemerédi-tétel a matematika, azon belül a számelmélet, kombinatorika, az ergodelmélet és a harmonikus analízis határterületén elhelyezkedő aritmetikus kombinatorika fontos eredménye, amit Erdős Pál és Szemerédi Endre 1983-ban bizonyítottak be.^[1] A tétel azt állítja, hogy a valós számok bármely véges halmazából képezett páronkénti összegek, illetve páronkénti szorzatok halmazai közül legalább az egyik lényegesen nagyobb elemszámú halmaz az eredetinél. Precízebben, állítja olyan c és $\varepsilon$ pozitív konstansok létezését, melyekre igaz, hogy

\max(|A+A|,|A\cdot A|)\geq c|A|^{1+\varepsilon }

ahol A valós számok véges elemszámú, nem üres halmaza, számossága |A|, továbbá $A+A=\{a+b:a,b\in A\}$ megegyezik A önmagán értelmezett összeghalmazával és $A\cdot A=\{ab:a,b\in A\}$ .

Általában az A + A összeghalmaz akkor összemérhető A-val, ha A számtani sorozat, A · A pedig akkor összemérhető A-val, ha A mértani sorozat. Az Erdős–Szemerédi-tétel felfogható tehát annak a kimondásának, hogy bármekkora is legyen egy véges halmaz, nem képes egyszerre úgy viselkedni, mint egy számtani sorozat és egy mértani sorozat. Más megközelítésben annak a kimondása, hogy a valós számegyenesnek nincs olyan részhalmaza, ami egy véges részgyűrűre vagy résztestre emlékeztet. Az Erdős–Szemerédi-tétel az első példa az összeg-szorzat jelenségre (sum-product phenomenon), amiről ma már ismert, hogy a gyűrűk és testek (köztük a véges testek) jelentős részén fellép.^[2]

Erdős és Szemerédi sejtése szerint $\varepsilon$ 1-hez tetszőlegesen közel vihető. Ebben a tekintetben a legjobb 2009-2016 között Solymosi József eredménye volt,^[3] aki bizonyította, hogy $\varepsilon$ tetszőlegesen közel vihető 1/3-hoz. Ezt 2016-ban Misha Rudnev, Ilya Shkredov és Sophie Stevens javították $1/3+1/1509$ -re,^[4] majd 2018-ban George Shakan $1/3+5/5277$ -ra.^[5]

Jegyzetek

↑ Erdős, Paul & Szemerédi, Endre (1983), "On sums and products of integers", Studies in Pure Mathematics. To the memory of Paul Turán, Basel: Birkhäuser Verlag, pp. 213–218, ISBN 978-3-7643-1288-6, doi:10.1007/978-3-0348-5438-2_19.
↑ Tao, Terence (2009), "The sum-product phenomenon in arbitrary rings", Contributions to Discrete Mathematics 4 (2): 59–82, hdl:10515/sy5r78637.
↑ Solymosi, József (2009), "Bounding multiplicative energy by the sumset", Advances in Mathematics 222 (2): 402–408, DOI 10.1016/j.aim.2009.04.006.
↑ Sablon:Cite arxiv
↑ Sablon:Cite arxiv

További információk

How a Strange Grid Reveals Hidden Connections Between Simple Numbers - Quanta Magazine article about the sum-product phenomenon.

[1] Erdős, Paul & Szemerédi, Endre (1983), "On sums and products of integers", Studies in Pure Mathematics. To the memory of Paul Turán, Basel: Birkhäuser Verlag, pp. 213–218, ISBN 978-3-7643-1288-6, doi:10.1007/978-3-0348-5438-2_19.

[2] Tao, Terence (2009), "The sum-product phenomenon in arbitrary rings", Contributions to Discrete Mathematics 4 (2): 59–82, hdl:10515/sy5r78637.

[3] Solymosi, József (2009), "Bounding multiplicative energy by the sumset", Advances in Mathematics 222 (2): 402–408, DOI 10.1016/j.aim.2009.04.006.

[4] Sablon:Cite arxiv

[5] Sablon:Cite arxiv

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]