Összeghalmaz

Az additív kombinatorika területén a G Abel-csoport A és B részhalmazának összeghalmaza (sumset) (vagy Minkowski-összege) az A minden elemének és a B minden elemének páronkénti összegeit tartalmazó halmaz.

Tehát:

$A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}.$

Az A n-szeresen iterált összeghalmaza:

$nA=A+\cdots +A,$

ahol n tagot összegzünk.

Számos, az additív kombinatorika és additív számelmélet területén felmerülő kérdés fogalmazható meg összeghalmazok segítségével. Például a Lagrange által igazolt négynégyzetszám-tétel röviden így is kifejezhető:

$4\Box =\mathbb {N} ,$

ahol $\Box$ a négyzetszámok halmaza. Egy viszonylag felkapott kutatási terület a small doubling tulajdonsággal rendelkező halmazok, ahol az A + A kicsi (az A méretéhez viszonyítva); lásd Freiman–Ruzsa-tétel.

Kapcsolódó szócikkek

• Minkowski-összeg
• Korlátozott összeghalmaz
• Sidon-sorozat
• Összegmentes halmaz
• Schnirelmann-sűrűség
• Shapley–Folkman-lemma
• Freiman–Ruzsa-tétel

Irodalom

• Henry Mann. Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory, Corrected reprint of 1965 Wiley, Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company (1976). ISBN 0-88275-418-1 
• Nathanson, Melvyn B.. Best possible results on the density of sumsets, Analytic number theory. Proceedings of a conference in honor of Paul T. Bateman, held on April 25-27, 1989, at the University of Illinois, Urbana, IL (USA), Progress in Mathematics. Boston: Birkhäuser, 395–403. o. (1990). ISBN 0-8176-3481-9 
• Nathanson, Melvyn B.. Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag (1996). ISBN 0-387-94655-1 
• Terence Tao and Van Vu, Additive Combinatorics, Cambridge University Press 2006.