Elliptikus hengerkoordináta-rendszer

Az elliptikus hengerkoordináta-rendszer koordinátafelületei. A sárga hajlított felület egy fél hiperbolikus henger, ami a ν=-45°-nak felel meg, míg a piros cső a μ=1-hez tartozó elliptikus henger. A kék sík a z=1 koordinátához tartozik. A három felület a P pontban metszi egymást, melyet egy fekete gömb jelez. Desacartes.-koordinátái körülbelül (2,182; -1,661; 1,0). Az ellipszisek és hiperbolák fókuszai az x = ±2,0 pontok

Az elliptikus hengerkoordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, ami a kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszer harmadik, merőleges tengely menti vetítésével kapható. Koordinátafelületei elliptikus és hiperbolikus hengerek. Az $F_{1}$ és $F_{2}$ fókuszokat az adott Descartes-féle koordináta-rendszer $x$-tengelyén veszik fel, rendre a $-a$ és $+a$ pontokban.

Alap definíciók

A $(\mu ,\nu ,z)$ elliptikus hengerkoordináták leggyakoribb definíciója:

$x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu$

$y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu$

$z=z$

ahol $\mu$ nemnegatív valós szám, és $\nu \in [0,2\pi ]$. Ezek a definíciók ellipsziseknek és hiperboláknak felelnek meg. Az

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$

trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans $\mu$-höz tartozó görbék ellipszisek, míg az

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$

trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans $\nu$-höz tartozó görbék hiperbolák.

Skálázási tényezők

A $\mu$ és $\nu$ elliptikus hengerkoordináták skálázási tényezői megegyeznek:

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}$

és a harmadik skálázási tényező $h_{z}=1$. Eszerint az infinitezimális térfogatelem:

$dV=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu dz$

és a Laplace-operátor:

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$

A további differenciáloperátorok, mint $\nabla \cdot \mathbf {F}$ és $\nabla \times \mathbf {F}$ kifejezhetők a $(\mu ,\nu ,z)$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Alternatív definíció

Néha egy másik koordinátahármast használnak, ami geometriailag is intuitív. Megkülönböztetésül jelölésük $(\sigma ,\tau ,z)$, és kaphatók, mint $\sigma =\cosh \mu$ és $\tau =\cos \nu$. A konstans $\sigma$-hoz tartozó görbék ellipszisek, a konstans $\tau$-hoz tartozók hiperbolák. A $\tau$ koordináta a [-1, 1] intervallum eleme, míg a $\sigma$ koordináta legalább 1.

A $(\sigma ,\tau ,z)$ koordináták egyszerű kapcsolatban állnak az $F_{1}$ és $F_{2}$ fókuszoktól mért távolsággal. Az (x,y) sík pontjaira teljesül, hogy a fókuszoktól mért $d_{1}+d_{2}$ távolságösszeg egyenlő $2a\sigma$-val, míg a $d_{1}-d_{2}$ különbség megegyezik $2a\tau$-val. Így az $F_{1}$-től mért távolság $a(\sigma +\tau )$, az $F_{2}$-től mért távolság $a(\sigma -\tau )$.

Az alternatív definíció hátránya: nem lehet egy-egyértelműen megfeleltetni a Decartes-koordinátarendszerrel:

$x=a\sigma \tau$

$y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)$

Alternatív skálázási tényezők

A $(\sigma ,\tau ,z)$ alternatív koordináták skálázási tényezői:

$h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}$

$h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}$

és $h_{z}=1$. Az infinitezimális térfogatelem

$dV=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau dz$

és a Laplace-operátor:

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$

A további differenciáloperátorok, mint $\nabla \cdot \mathbf {F}$ és $\nabla \times \mathbf {F}$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Alkalmazások

Az elliptikus hengerkoordináta-rendszert hagyományosan parciális differenciál-egyenletek megoldására használják, például Laplace egyenletének vagy a Helmholtz-egyenlet megoldására, ahol is az elliptikus hengerkoordináta-rendszer lehetővé teszi a változók szétválasztását. Egy tipikus példa egy $2a$ vastagságú lapos vezető lap elektromos mezője.

A háromdimenziós hullámegyenlet elliptikus hengerkoordinátákkal kifejezve megoldható a változók szétválasztásával, ami a Mathieu-differenciálegyenleteket adja.

Az elliptikus koordináták geometriai tulajdonságai is hasznosak lehetnek. Egy tipikus példa azokon a $\mathbf {p}$ and $\mathbf {q}$ vektorpárokon vett integrál, melyek összege egy rögzített $\mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q}$ vektor, az integrandus pedig $\left|\mathbf {p} \right|$ and $\left|\mathbf {q} \right|$. Ekkor a koordináta-rendszert úgy veszik fel, hogy $\mathbf {r}$ a két fókusz közé essen, és az $x$-tengelyen helyezkedjen el, vagyis $\mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}}$. Az $\mathbf {r}$, $\mathbf {p}$ és $\mathbf {q}$ vektorok reprezentálhatják egy részecske és dekompozíciójának momentumát, és az integrandus magában foglalja a mozgási energiát.

Források

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 657. o. (1953). ISBN 0-07-043316-X 
• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 182–183. o. (1956) 
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 179. o.. ASIN B0000CKZX7 (1961) 
• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 97. o. (1967) 
• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Moon P, Spencer DE. Elliptic-Cylinder Coordinates (η, ψ, z), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer-Verlag, 17–20 (Table 1.03). o. (1988). ISBN 978-0-387-18430-2 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Elliptic cylindrical coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.