Egymintás u-próba

Az egymintás u-próba (más néven egymintás z-próba, lásd angolul Z-test) az u-próbák családjába tartozik. A próba azt ellenőrzi, hogy egy adott statisztikai ismérv esetén a mintabeli átlag szignifikánsan eltér-e a populációs átlagtól. Más szavakkal, hogy egy valószínűségi változó átlaga szignifikánsan különbözik-e egy adott m értéktől.

Alapgondolata és az alkalmazás feltételei

A próba alapgondolata, hogy a populációt m átlagú (várható értékű) és σ szórású normális eloszlásúnak feltételezzük és mintavételezéssel tesztelni kívánjuk, hogy az m szám tényleg tekinthető-e a populációs átlagnak, vagy ez a feltételezésünk nem tartható. A populációból véletlen módon egy n elemszámú mintát veszünk (x₁, x₂, … ,x_n) a minta értékeiből átlagot számolunk (${\mbox{ }}_{\overline {x}}$) és meghatározzuk az átlag eltérését az m feltételezett populációs átlagtól. A kérdés, hogy az ${\mbox{ }}_{\overline {x}}$ – m különbség mértéke vajon

1. köszönhető-e a mintavétel véletlen hibájának, vagy
2. bizonyos p valószínűségű kockázatot vállalva (szignifikanciaszint) utal-e arra, hogy a populációs átlag nem lehet m.

A kérdést az adott p valószínűségű kockázat vállalása mellett szándékozunk megválaszolni. Ha a populáció normális eloszlásának görbéjén a minta átlaga olyan messze van a várható értéktől, hogy az olyan és annál távolabbi értékek valószínűsége a görbe szerint kisebb mint p, akkor nem véletlen eltérésre gyanakodunk, ha ennél nagyobb az előfordulási valószínűsége, akkor maradunk az eredeti feltételezésnél.

Eszerint az u-próba feltétele, hogy a vizsgált populáció ismérve (valószínűségi változója)

1. intervallum vagy arányskálán mért
2. normális eloszlású
3. ismert szórású
4. ismert populációs átlagú (illetve várható értékű)

legyen. A próba a populációs átlagot teszteli, így az utolsó feltételt pontosabb úgy fogalmazni, hogy feltételezéssel kell rendelkeznünk a populáció átlagára vonatkozóan.

Hipotézisek

Kétoldali ellenhipotézist fogalmazunk meg, ha pusztán azt szeretnénk ellenőrizni, hogy a populáció átlaga tényleg az m szám-e:

$H_{0}$: a populáció átlaga = m	(nullhipotézis)
$H_{1}$: a populáció átlaga ≠ m	(kétoldali ellenhipotézis)

A „populáció átlaga” kifejezés helyett a valószínűség-elmélet terminológiájában itt is az „X valószínűségi változó várható értéke” áll. Ekkor a vizsgálat tárgya, hogy E(X) egyenlő-e m-mel. Ekkor a próba később említendő u paraméterét a u_p/2 értékkel hasonlítjuk össze.

Ha van olyan gyanúnk, illetve azt szeretnénk igazolni, hogy a populációs átlag valójában kisebb mint m vagy valójában nagyobb mint m, akkor egyoldali ellenhipotézist fogalmazunk meg. (Ekkor természetesen a mintaátlag a relációnak megfelelően kisebb, vagy nagyobb, mint m, hiszen különben nem is értelmes a mintából egyoldali eltérésre gyanakodni.)

$H_{0}$: a populáció átlaga = m	(nullhipotézis)
$H_{1}$: a populáció átlaga < m	(bal oldali ellenhipotézis)

Illetve a másik lehetőség, hogy $H_{1}$: m < a populáció átlaga (jobb oldali ellenhipotézis). Ekkor a próba később említendő u paraméterét az u_p értékkel hasonlítjuk össze.

A próbastatisztika

Az egymintás u-próba próbastatisztikája

$u={\frac {{\bar {x}}-m}{\sigma /{\sqrt {n}}}}$

ahol

• ${\bar {x}}$ a vizsgált valószínűségi változó átlaga a mintában,
• $m\,$ az előre adott érték, amihez az átlagot viszonyítjuk,
• $\sigma \,$ a vizsgált valószínűségi változó ismert szórása és
• $n\,$ a minta elemszáma.

A próba végrehajtásának lépései

lépés	megjegyzés
1. u kiszámítása a fenti képletből	ekkor lényegében standardizálunk a teljes populáció vélelmezett m átlagára és az n elemű minta átlagának vélelmezett $s=\sigma /{\sqrt {n}}$ szórására nézve
2. A p szignifikanciaszint megválasztása	ez a legtöbb vizsgálat esetén 0,05; 0,01 vagy 0,005 (azaz 5%, 1% illetve 0,5%)
3. Egyoldalasság esetén a p-hez tartozó up érték, illetve kétoldalasság esetén a p/2-höz tartozó up/2 értékek kikeresése	szerencsétlen statisztikai szokás a félrevezető előjelezés, azaz p=Φ(-up ) és p/2=Φ(-up/2 ), ahol a standard normális Φ eloszlás táblázatát használjuk
4. A döntést ezek után a választott p és választott típusú ellenhipotézis mellett a következők alapján hozzuk:	vigyázni kell az egy- és kétoldalasságra, valamint az elfogadási/elvetési döntés irányára

Az ellenhipotézis elfogadásával elvetjük $H_{0}$-t, ha

	bal oldali ellenhipotézis	kétoldali ellenhipotézis	jobb oldali ellenhipotézis
p=0,05	u < -up = -1,64	u < -up/2 = -1,96 vagy 1,96 = up/2 < u	1,64 = up < u
p=0,01	u < -up = -2,32	u < -up/2 = -2,57 vagy 2,57 = up/2 < u	2,32 = up < u
p=0,005	u < -up = -2,57	u < -up/2 = -2,81 vagy 2,81 = up/2 < u	2,57 = up < u

Ellenkező esetben, meggyőző ellenhipotézis híján megtartjuk $H_{0}$-t.

A döntést a következőképpen magyarázzuk:

• $H_{0}$-t egy p szignifikanciaszintű eltérésre hivatkozással elvetjük, amennyiben a vizsgálati minta alapján adódó u szignifikáns eltérést mutat, azaz a p szignifikanciaszintű ellenhipotézisnek megfelelő perifériális zónába esik (lásd a fentebbi táblázatot);
• $H_{0}$-t meggyőző eltérés híján megtartjuk, amennyiben a vizsgálat nem mutat meggyőző mértékű eltérést, azaz a leszármaztatott u nem esik az ellenhipotézisnek megfelelő perifériális zónába.

A döntésnél szereplő egyenlőtlenségben lévő határok kétoldali ellenhipotézisnél tetszőleges p szignifikanciaszint esetén: ( -u_p/2 , u_p/2 ), egyoldalinál ( -u_p , +∞ ) illetve ( -∞, u_p ). Az u_p/2 illetve u_p érték kiválasztása a standard normális eloszlás táblázatából történik. Azt az x értéket kell kikeresni melynél nagyobb értéket standard normális eloszlású valószínűségi változó csak p/2 (illetve p) valószínűséggel vesz fel. Például p = 0,05 esetén p/2 = 0,025. Az ehhez közeli, de már nagyobb értéket megkeressük a táblázaton belül a Φ(x) értékek között és leolvassuk azt az x értéket, amely ehhez a Φ(x)-hez tartozik.

Példa

1. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy pedagógiai program valóban gyorsítja-e az óvodás gyerekek értelmi képességeinek fejlődését. Azt értelmi képesség mérésére az intelligencia hányados, az un. IQ hivatott. Ez olyan mérőeszköz, ami intervallum skálán mér, tudjuk, hogy a populációban normális eloszlást követ és tudjuk, hogy a 100-as IQ mutatja az átlagos képességet. Egy teljesen átlagos óvodai csoportban tehát nem tér el lényegesen (szignifikánsan) az IQ átlagos értéke a 100-as értéktől. Az IQ mérésére használt tesztek szórását ismerjük, a legtöbb ilyen teszt 15-ös, 16-os vagy 24-es szórású. Mi most egy 16-os szórású teszttel fogunk mérni. Látható, hogy az egymintás u-próba alkalmazásának feltételei adottak.

A vizsgálatunkban összesen 71 óvodás korú gyermek vesz részt, akiken alkalmazták a vizsgált pedagógiai módszert. Egy év alkalmazás után a gyerekek IQ-ját az adott teszttel megmértük és azt kaptuk, hogy a 71 gyermek átlagos IQ-ja 105. Ez egy kicsit magasabb érték, mint az átlag, de nem tudjuk, hogy ez a különbség pusztán csak a véletlennek tulajdonítható (szinte soha nem kapunk pontosan 100-as átlagot egyetlen óvodai mintában sem), vagy tekinthető a 100-as értéktől való szisztematikus eltérésnek.

Ennek a kérdésnek az eldöntésére egymintás u-próbát alkalmazunk. A vizsgált valószínűségi változónk az IQ. Ez normális eloszlású a populációban, intervallumskálán mért és ismerjük a szórását (σ = 16). A mintánkban az átlag ${\bar {x}}$ = 105, A minta elemszáma n = 71, az előre megadott m érték az m = 100, hisz ez jelöli az átlagos teljesítményt s mi arra vagyunk kíváncsiak, hogy a mi csoportunk teljesítménye szignifikánsan eltér-e ettől. Ennek megfelelően az u próbastatisztikánk a jelen vizsgálat esetében

$u={\frac {{\bar {x}}-m}{\sigma /{\sqrt {n}}}}={\frac {105-100}{16/{\sqrt {71}}}}\approx 2,633$

Ha p = 0,05-nek választjuk a szignifikanciaszintet, akkor a táblázatbeli érték u_p/2 = u_0,025 = 1,96, vagyis ha 5% kockázatot vállalunk arra nézve, hogy esetleg helytelenül vetjük el a nullhipotézist, akkor csak 1,96-nál nagyobb vagy -1,96-nál kisebb próbastatisztika értékek esetén tudjuk elvetni azt. Jelenlegi a helyzet próbastatisztika és a táblázatbeli érték viszonyában a következő.

u ≈ 2,633 miatt u > 2,632 > 1,96 = u_0,025

azaz |u| ≥ u_p/2 teljesül.

Így a nullhipotézist elvethetjük, az egymintás u-próba szerint szignifikáns különbség van (p = 0,05-ös szignifikanciaszint mellett) a pedagógiai programban részt vett óvodások átlagos IQ-ja és a 100-as érték között.

2. Az Egyesült Államokban egy teljes körű felmérés szerint az elsőéves egyetemisták hetente 7,5 órát töltenek bulizással. Az adatok szórása 7 óra. Egy egyetem rektora gyanakodik, hogy náluk a hallgatók nem buliznak ennyit, ezért 100 fős véletlen mintát vesz az egyetemének elsőévesei közül (kb. 3000 elsős van). A mintavétel eredménye 6,6 órás átlag. Kimutatható-e szignifikáns eltérés a populációs átlagtól?

Az a gondolatunk, hogy az országos felmérés átlagát tekintjük a 3000 fős egyetemi populáció átlagának és ezt ellenőrizzük u-próbával, tehát: $H_{0}$: μ = 7,5, itt μ az egyetem elsőéveseinek populációs átlaga. A rektor gyanúja miatt érdemes azt az egyoldali ellenhipotézist venni, hogy μ < 7,5. Tehát

m = 7,5

${\mbox{ }}_{\bar {x}}$ = 6,6

σ = 7

n = 100

Ekkor a képlet szerint u = -1,29. Így az u-próba nem járt sikerrel bal oldali ellenhipotézisű, 5%-os szignifikanciaszinten sem, hiszen -1,64 < -1,29 és így azt mondhatjuk, hogy a 7,5 órás átlagtól való eltérés köszönhető a véletlennek is (ez nyilván az adatok nagy szórása miatt van így). Tehát nem mutatható ki szignifikáns különbség az országos átlagtól.

A próba matematikai háttere

Mivel a vizsgált X valószínűségi változótól megköveteltük, hogy normális eloszlást kövessen, így az X₁, X₂, … X_n mintáról elmondható, hogy a belőle képzett

${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

valószínűségi változó is normális eloszlást követ. Mivel σ az X szórását jelöli, így az ${\overline {X}}$ szórása $\sigma /{\sqrt {n}}$. Ha most meggondoljuk, hogy a – matematikailag precízebben megfogalmazott – nullhipotézis szerint m az X várható értékével azonos, akkor látható, hogy az

$u={\frac {{\overline {X}}-m}{\sigma /{\sqrt {n}}}}$

próbastatisztika standard normális eloszlást fog követni. Emiatt bármilyen 1 > p > 0 esetén meg lehet határozni azt az u_p/2 értéket, melyre

$1-p=\mathbf {P} \left(-u_{p/2}<{\frac {{\overline {X}}-m}{\sigma /{\sqrt {n}}}}<u_{p/2}|H_{0}\right)=\Phi (u_{p/2})-\Phi (-u_{p/2})=2\Phi (u_{p/2})-1$

ahol Φ(x) a standard normális eloszlásfüggvény. Ez azt jelenti, hogy ha igaz a nullhipotézis, akkor az u próbastatisztika értéke 1-p valószínűséggel a (-u_p/2, u_p/2) intervallumba kell, hogy essen.

Megjegyzések

• Az egymintás u-próba bizonyos tekintetben az egymintás t-próba párja. Az egymintás t-próba ugyanezt a nullhipotézis vizsgálja, csak nem feltétele az szórás értékének előzetes ismerete, hanem azt a minta adataiból becsli. A próbastatisztika képlete is nagyon hasonló, csak benne az ismert σ szórás helyett a mintából becsült s szórás szerepel. Természetesen a két próba matematikai háttere is nagyon hasonló.

• A szakirodalom nem teljesen egységes annak tekintetében, hogy a nullhipotézis elvetéséről vagy megtartásáról szóló döntésben az |u| és $u_{p}$ közötti két egyenlőtlenség közül melyiknél engedi meg az egyenlőséget. Ennek gyakorlati jelentősége nem igazán van, az alkalmazások során nagyon ritkán adódik, hogy a kiszámított próbastatisztika pontosan egybeesik a táblázatbeli értékkel. Ha esetleg mégis így alakul, akkor az eredmény úgy interpretálható, hogy a nullhipotézis elvetése esetén a kockázat pontosan megegyezik a szignifikanciaszinttel, s innen a kutató (és a tudós társadalom) szája ízétől függ, hogy ebben inkább a nullhipotézis elvetésének, vagy inkább a nullhipotézis megtartásának zálogát látja.

• Érdemes megfigyelni az óvatos fogalmazást a nullhipotézis megtartása esetén. Az általunk meghatározott p szignifikanciaszint az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét adja meg. Ha el tudom vetni a nullhipotézist, akkor ekkora kockázatot vállalok arra nézve, hogy esetleg hiba elvetni. Amennyiben viszont nem tudom elvetni a nullhipotézis, akkor elsőfajú hibát biztosan nem fogok elkövetni, ám elkövethetek másodfajú hibát, melynek kockázatáról semmit nem mond a próba. Ez indokolja, hogy ha a nullhipotézist megtartjuk, akkor nem azt mondjuk, hogy nincs szignifikáns különbség a minta átlaga és az előre megadott m érték között, hanem hogy az egymintás u-próba nem tudott szignifikáns különbséget kimutatni (ami ettől még lehet, hogy van). A másodfajú hiba elkövetésének valószínűségét az egymintás u-próba erőfüggvényének vizsgálatával tudjuk megállapítani.

• Az egymintás u-próbára – az angol nyelvű szakirodalom alapján – szoktak z-próbaként, vagy egymintás z-próbaként is hivatkozni. Ez az elnevezés a magyar szakirodalomban ritkán fordul elő, ami azért is szerencsés, mert a magyar szakirodalom egy másik próbát is szokott néha z-próbának nevezni (ami korrelációs együtthatók közötti szignifikáns különbségek kimutatására alkalmas).

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
• Michaletzky Gy. – Mogyoródi J. (1995): Matematikai statisztika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
• Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
• Petres T. – Tóth L. (2001): Statisztika. JATEPress, Szeged.
• Vargha A. (2000): Matematikai statisztika pszichológiai, nyelvészeti és biológiai alkalmazásokkal. Pólya Kiadó, Budapest.