Számtani közép

Számtani vagy aritmetikai középértéken $\,n$ darab szám átlagát, azaz a számok összegének $\,n$-ed részét értjük. A számtani közepet általában $\,A$ betűvel jelöljük:

$A(a_{1};...;a_{n})={\frac {a_{1}+...+a_{n}}{n}}$.

A kiindulási értékeket összeadjuk, majd az összeget elosztjuk az összeadott számok darabszámával. A hétköznapi életben ezt egyszerűen „átlagnak” hívjuk. A matematikában a számtani közép elnevezés a mértani és a harmonikus középtől való megkülönböztetést szolgálja. Ezt a hármat pithagoraszi középnek is nevezik.

Ideálisan normális eloszlású, vagy akár csak szimmetrikus eloszlású adatok esetén a számtani közép értéke egybeesik a medián és a módusz értékével. Ha az eloszlás ferde, akkor a számtani közép nem esik egybe a mediánnal és a módusszal, tehát nem ez a leggyakoribb érték, és nem is a középső érték.

A könnyű számíthatósága és értelmezhetősége okán számos területen használják, például statisztikában, történelemben, szociológiában és pénzügyekben. Annak ellenére, hogy statisztikailag nem megfelelően jellemzi a sokaságot, az egy főre jutó jövedelmet számtani középpel számítják. Ennek oka, hogy habár közép felé húz, a számtani közép nem robusztus statisztika, mivel erősen hatnak rá a kilógó adatok, például a kevés magas jövedelem felhúzza a számtani közepet. Ezek hatása csökkenthető a kiugró értékek kiszűrésével, mint például a Dixon teszt vagy a Grubbs teszt, vagy más az eloszlásnak megfelelő statisztikát és középérték-számítást kell választani.

Egy téves használat szerint, ha x és y számok, akkor bármely számtani sorozat, aminek tagjai a kettő közé esnek, nevezhető x és y számtani közepének.

Értelmezés

Az a és a b számok számtani közepe akkor és csak akkor m, ha $m-a=b-m$.

Legyenek $X_{1},\dots ,X_{n}$ független azonos eloszlású valószínűségi változók $\mu$ várható értékkel és $\sigma$ szórással, ekkor az $m={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ középérték szintén $\mu$ körül ingadozik, és szórása kisebb, mint ${\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}$. Ha tehát egy valószínűségi változó várható értéke és szórása is véges, akkor a Csebisev-egyenlőtlenség miatt a mintaközép a minta elemszámának növelésével sztochasztikusan konvergál a valószínűségi változó várható értékéhez. Tehát a számtani közép alkalmas a várható érték becslésére, viszont érzékeny a nem tipikus adatokra (lásd: medián).

A számtani középre vonatkozó alaptétel

Tétel: Ha $\,a,b,c$ valós számok, és $\,b=A(a;c)$, vagyis $\,b$ az $\,a$ és $\,c$ számok számtani közepe, akkor $b-a=c-b={\frac {c-a}{2}}$. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy $\,b$ az $\,a$ és a $\,c$ számoktól egyenlő távolságra (vagyis „középen”) helyezkedik el a számegyenesen. Valóban, hiszen ha $b={\frac {a+c}{2}}$, akkor $b-a={\frac {a+c}{2}}-a={\frac {a+c-2a}{2}}={\frac {c-a}{2}}$ és $c-b=c-{\frac {(a+c)}{2}}={\frac {2c-a-c}{2}}={\frac {c-a}{2}}$.

Adott $a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:

$\min _{i}(a_{i})\leq A(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\leq \max _{i}(a_{i})$

Algebrai tulajdonságok

Ha a tetszőleges $a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ számsorozatot tetszőlegesen hosszan bővítjük e számok számtani közepével, akkor az így kibővített sorozat tagjainak számtani középértéke megegyezik az eredeti számtani középpel:

$A(a_{1};\dots ;a_{n};A_{n};\dots ;A_{n})=A_{n}$

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség:

$\operatorname {A} (a,b)\geq \operatorname {G} (a,b)$

Mivel középre húz, alkalmas a centrális tendencia mérésére. Ezek közé tartozik, hogy:

• Ha az $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ számok számtani közepe ${\bar {x}}$, akkor $(x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0$. Ezt azzal szemléltetik, hogy a számtani középtől balra és jobbra levő számok ellensúlyozzák egymást. A számtani közepet egyértelműen meghatározza ez a tulajdonsága, tehát nincs más ilyen tulajdonságú szám.
• Ha az $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ számokat egyetlen paraméterrel kell jellemezni, akkor erre a számtani közép a legalkalmasabb, mivel minimalizálja a négyzetes eltéréseket a paramétertől. Ezt a minta négyzetes hibájának, vagy torzított tapasztalati szórásnégyzetnek nevezik. A számtani közép (ilyen kontextusban tapasztalati várható érték) torzítatlanul közelíti a minta várható értékét.

Szembeállítás a mediánnal

A számtani közép szembeállítható a mediánnal. A medián definíció szerint a minta középső eleme, tehát az elemek fele kisebb, fele nagyobb nála. Páros elemszám esetén a medián a két középső elem számtani közepe. A számtani közép és a medián akkor esik egybe, ha a rendezett sorozat számtani. Például, ha a rendezett sorozat ${1,2,3,4}$ akkor a számtani közép és a medián is 2,5. Ha például ${1,2,4,8,16}$, akkor a számtani közép 6,2, de a medián 4. A számtani közép lehet sokkal nagyobb, vagy kisebb is, mint a sorozat legtöbb eleme.

A medián és a számtani közép együttes használata elterjedt. Statisztikai elemzések szerint az 1980-as évektől az Amerikai Egyesült Államokban a jövedelem számtani közepe gyorsabban nőtt, mint a mediánja.

Számtani sorozatok

Számtani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának számtani közepe. Általában $\,a_{n}$ tag az $\,a_{n-k}$ és $\,a_{n+k}$ tagok számtani közepe, ha $\,n>k$ pozitív egészek. Ennek megfordítása is igaz (ha egy sorozatban bármely két tag a szomszédos tagok számtani közepe, akkor az egy számtani sorozat), mégpedig egyszerű következménye a számtani középre vonatkozó alaptételnek.

Súlyozott számtani közép

A számtani középnek súlyozott változata is értelmezhető. Alkalmazzák például a keverési feladatokban, a valószínűségszámításban és a statisztikában.

A súlyozott számtani közép számítása:

${\bar {x}}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot x_{i}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$.

ahol az $x_{i}$ számok rendre a $w_{i}$ súlyokkal szerepelnek.

A keverési feladatokban $x_{i}$ jelöli a koncentrációt vagy a hőmérsékletet, és $w_{i}$ a térfogatot, vagy a tömeget.

A statisztikai alkalmazásokban az $x_{i}$ adatpontokhoz tartozó $w_{i}$ súlyok azt mutatják, hogy az adott adatpont hányszor jelenik meg a mintában.

Több minta összetevésekor az egyes minták középértékeit a megfelelő minták elemszámával súlyozzák.

A valószínűségszámításban, ha az $\mathbf {X} _{i}$ valószínűségi vektorváltozók közös várható értéke $\mathbf {\mu } _{i}$, de szórásuk rendre $\sigma _{i}$, akkor a súlyozott középérték $\mathbf {\mu } _{i}$ körül ingadozik, és szórásnégyzete

$\sigma _{\bar {x}}^{2}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}}{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}}$.

Ha most $w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}$, akkor

$\sigma _{\bar {x}}^{2}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{4}}}\sigma _{i}^{2}}{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {1}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}}$.

A Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség alapján

$\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}$.

A $w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}$ választás minimalizálja a középérték szórását. A súlyok választása mutatja, hogy melyik adatnak mekkora fontosságot tulajdonítunk.

Alkalmazás

A számtani közepet additív – magyarul összeadható – mennyiségek átlagolására használjuk (például magasságok átlaga, testsúlyok átlaga stb.).

Függvény középértéke

A Riemann-integrálható függvények középértéke a számtani közép általánosításaként fogható fel.

Az $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ Riemann-integrálható függvény középértéke

${\bar {f}}:={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

Ha most egyenlő osztásközöket veszünk, ahol $\{x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}$ osztópontok, és a két szomszédos osztópont közötti távolság $h={\frac {b-a}{n}}$, akkor az

$m_{n}(f):={\frac {f(x_{1})+f(x_{2})+\dots +f(x_{n})}{n}}={\frac {1}{b-a}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})h$

számtani közép tart az ${\bar {f}}\;$ középértékhez.

Ha f folytonos, akkor az integrálszámítás középértéktétele szerint létezik $\xi \in [a,b]$, amire $f(\xi )={\bar {f}}\;$, a függvény legalább egy helyen felveszi középértékét.

A középértéknek is van súlyozott változata, ahol is a $w(x)\;$ súlyfüggvény pozitív minden $x\in [a,b]$-re. Ekkor a súlyozott középérték

${\bar {f}}={\frac {\int _{a}^{b}f(t)w(t)\mathrm {d} t}{\int _{a}^{b}w(t)\mathrm {d} t}}$.

Az $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ mértéktérben, ahol $\mu (\Omega )<\infty$, a Lebesgue-integrálható függvények középértéke

${\bar {f}}:={\frac {1}{\mu (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)$.

Valószínűségi tér esetén, ahol $\mu (\Omega )=1\;$, a középérték az

${\bar {f}}:=\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)$

alakra hozható, ami éppen az f(x) várható értéke.

Folytonos valószínűségi eloszlások

Két, különböző ferdeségű lognormális eloszlás középértékeinek középértékeinek (várható érték, medián és módusz) összehasonlítása

Valószínűségi eloszlások esetén annak a valószínűsége, hogy az érték a számegyenes melyik szakaszára esik, különbözhet attól, hogy az érték egy másik, de ugyanolyan hosszú szakaszra esik. Egyenlőség minden szakaszpárra csak geometriai eloszlás esetén áll fenn. A többi esetet eloszlásfüggvénnyel vagy sűrűségfüggvénnyel írják le. A súlyozott átlag megfelelője itt a valószínűségeloszlás várható értéke. A valószínűségeloszlás folytonos, ha eloszlásfüggvénye folytonos. A sűrűségfüggvény létezéséhez az eloszlásfüggvénynek differenciálhatónak kell lennie. Az egyik leggyakrabban használt eloszlásfüggvény a normális eloszlás, ami szimmetrikus a várható értékére, így mediánja és módusza is a várható értéke. Nem szimmetrikus eloszlások esetén ezek különböznek. Egy gyakran használt nem szimmetrikus (ferde) a lognormális eloszlás, amit az ábra is mutat.

Szögek

Szögek és más hasonló mennyiségek, egy modulus szerinti mennyiségek átlagolására alkalmatlan a számtani közép. Az egyik nehézség az, hogy a két mennyiségnek két távolsága van, amelyek közül a kisebbet szokták távolságon érteni, de a számtani közép lehet, hogy a nagyobb távolságot felezi. Például, ha a két mennyiség 1 és 359 fok, akkor a hagyományos számtani közép 180 fokot ad, pedig a 0 vagy 360 foknak geometriai jelentése is lenne. Egy másik probléma az, hogy a modulo mennyiségek értelmezhetők többféleképpen is. Például 1 és 359 fok helyett lehetne 1 és -1 fok, de lehetne 361 és 719 fok is, ami több különböző eredményt ad. Éppen ezért ezekre a mennyiségekre át kell definiálni a számtani közepet, hogy a moduláris távolságot felezze. Az így definiált mennyiség a moduláris számtani közép, vagy moduláris átlag.

Kapcsolat más közepekkel

Legyen $f$ egy $I$ intervallumon értelmezett szigorúan növő folytonos függvény. Legyenek továbbá adva a $w_{i},0\leq w_{i}\leq 1,\sum _{i}w_{i}=1$ súlyok. Ekkor az $x_{i}\in I$ számok $w_{i}$-vel súlyozott kváziaritmetikai közepe

${\bar {x}}_{f}=f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})\right)$.

Nyilván

$\min(x_{i})\leq {\bar {x}}_{f}\leq \max(x_{i})$.

Így a különböző f függvényekkel különböző közepek definiálhatók. $f(x)=x$ visszaadja a számtani közepet, $f(x)=\log(x)$ a mértani közepet, és $f(x)=x^{k}$ a k-adik hatványközepet.

Mindezek a közepek függvényekre is általánosíthatók. Ehhez azt kell még kikötni, hogy az f függvény értelmezési tartománya tartalmazza az u függvény képhalmazát. Ekkor az u függvény középértéke:

${\bar {u}}_{f}=f^{-1}\left({\frac {\int f(u(t))w(t)\mathrm {d} t}{\int w(t)\mathrm {d} t}}\right)$

Kapcsolódó szócikkek

• Kváziaritmetikai közép (általánosítás)
• A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség
• A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség

Források

• A középértékek és a lemniszkáta

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Arithmetic mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.