A dimenziótétel vagy nullitás–rang tétel a lineáris algebrában alapvetően a véges dimenziós terek között ható leképezések magterének és képterének komplementer jellegére mutat rá. Ha φ lineáris leképezés egy n dimenziós térből valamely másikba hat, Ker φ = { v | φv = 0 } a φ magtere és Im φ a leképezés értékkészlete, mint altér, akkor
- dim Ker φ + dim Im φ = n
Ugyanazon terek között ható két leképezés közül, amelyik magtérdimenziója nagyobb, annak a képtérdimenziója kisebb.
A tétel a dimenziók szerepeltetése nélkül tovább általánosítható nem feltétlenül véges dimenziós V1 térre is, a következő formában:
- Ker φ ⊕ Im φ ≅ V1
A tétel kapcsolatban van az első izomorfizmustétellel és az Abel-csoportok közötti morfizmusok dekompozíciós tételével.[1]
Ha V1 véges dimenziós, V2 pedig tetszőleges lineáris tér, továbbá φ:V1
V2 lineáris leképezés, akkor
![{\displaystyle \mathrm {dim\,Ker} \,\varphi +\mathrm {dim\,Im} \,\varphi =\mathrm {dim} \,V_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbac3845bb197e0470595ecefc4a6254c4663243)
Legyen dim V1 = n, dim Ker φ = k ≤ n és legyen Ker φ egy bázisa:[2]
![{\displaystyle \{\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{k}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc96351d690e99de548c85f76c9d5b138102bff7)
Mivel ez lineárisan független vektorrendszer V1-ben, ezért vannak
![{\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{m}\quad \quad (m=n-k)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281f6225df12264a2a6a4abe9240d7cafb77036b)
vektorok, melyekkel
![{\displaystyle \{\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{k},\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{m}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f77b159c4d2604dacf7b5c8379bfceab1556b162)
V1 bázisa.
Belátjuk, hogy a cj-k képvektoraiból álló
![{\displaystyle F=\{\varphi (\mathbf {c} _{1}),\ldots ,\varphi (\mathbf {c} _{m})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718866a4cd05bcf86674f923f8c3f19842e1a73a)
vektorrendszer Im φ bázisát alkotja. Ezután már készen vagyunk, mert f elemszáma így m lesz és kapjuk: dim Im φ = m = n - k = dim V1 - dim Ker φ.
(1) F generálja Im φ-t. Legyen ugyanis φ(v) tetszőleges Im φ-beli vektor alkalmas v ∈ V1-vel. Ekkor v-hez egyértelműen léteznek a λi, μj skalárok, hogy:
![{\displaystyle \mathbf {v} =\lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {b} _{k}+\mu _{1}\mathbf {c} _{1}+\ldots +\mu _{m}\mathbf {c} _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52888664165b7a5fd4210fff980589cf9206d59c)
ezért
![{\displaystyle =\lambda _{1}\varphi (\mathbf {b} _{1})+\ldots +\lambda _{k}\varphi (\mathbf {b} _{k})+\mu _{1}\varphi (\mathbf {c} _{1})+\ldots +\mu _{m}\varphi (\mathbf {c} _{m})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2739a1435f0308a05fc64f113cc30226e10be952)
![{\displaystyle =\mathbf {0} +\mu _{1}\varphi (\mathbf {c} _{1})+\ldots +\mu _{m}\varphi (\mathbf {c} _{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b0c6f26a38af341e10070152af3a5ae9c51586)
azaz φ(v) már az F-beli vektorok lineáris kombinációjaként is előáll. Az előbb felhasználtuk, hogy a bi vektorok képe mind 0.
(2) F lineárisan független. Tegyük fel, hogy F elemei előállítják a 0 vektort alkalmas skalárokkal. Ekkor
![{\displaystyle \mathbf {0} =\mu _{1}\varphi (\mathbf {c} _{1})+\ldots +\mu _{k}\varphi (\mathbf {c} _{m})=\varphi (\mu _{1}\mathbf {c} _{1}+\ldots +\mu _{m}\mathbf {c} _{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3fea64ece776d0bd609206ade31cf7947b2cce)
azaz
![{\displaystyle \mu _{1}\mathbf {c} _{1}+\ldots +\mu _{m}\mathbf {c} _{m}\in \mathrm {Ker} \,\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d8d69933b73ae2cd5d86e0604396819672392cc)
Eszerint az előbbi vektor a Ker φ báziselemeinek egyértelmű lineáris kombinációjaként is előáll:
![{\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\ldots +\lambda _{k}\mathbf {b} _{k}=\mu _{1}\mathbf {c} _{1}+\ldots +\mu _{m}\mathbf {c} _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b205bb285e7b92f66939d22fd8899e4dfc1e760)
amiből
![{\displaystyle \mathbf {0} =\lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\ldots +\lambda _{k}\mathbf {b} _{k}-\mu _{1}\mathbf {c} _{1}-\ldots -\mu _{m}\mathbf {c} _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df6668ceb60aa8d425d6a2431d110401573fc284)
de a vektorok függetlenségéből következik, hogy ekkor
![{\displaystyle 0=\lambda _{1}=\ldots =\lambda _{k}=-\mu _{1}=\ldots =-\mu _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3660ccb75774e13798c604728a45b4f9ad49aaba)
speciálisan
.
A bizonyításból az is következik, hogy
- Ker φ és a cj-k generálta altér direkt összegként állítják elő V1-et:
![{\displaystyle \mathrm {Ker} \,\varphi \;\oplus \;\langle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{m}\rangle =V_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca28b44d5feedae5d48afc912f21fdaedc3e83d)
- φ a cj-k generálta altérre leszűkítve az Im φ-be képező lineáris izomorfizmus.
Emiatt pedig V1 a mag- és a képtér direkt összegével izomorf:
![{\displaystyle \mathrm {Ker} \,\varphi \;\oplus \;\mathrm {Im} \,\varphi \cong V_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37877e880ed36022598fb93760e3e63e3499a75c)
Direktösszeg-felbontás[szerkesztés]
Az univerzális algebra terminusaiban érvényes, hogy
![{\displaystyle \{0\}\quad {\overset {\mathrm {id} }{\longrightarrow }}\quad \mathrm {Ker} \,\varphi \quad {\overset {f=\mathrm {id} }{\longrightarrow }}\quad V_{1}\quad {\overset {g=\varphi }{\longrightarrow }}\quad \mathrm {Im} \,\varphi \quad {\overset {0}{\longrightarrow }}\quad \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd1044231c54357e46a9d7e94368c01798e9569)
egy rövid egzakt sorozat, azaz Im f = Ker g, hisz mindkettő a Ker φ.
Emiatt az Abel-csoportokra vonatkozó kategóriaelméleti dekompozíciós lemma gondolatmenetével is előállíthatjuk a direkt összeget.
Legyen Im φ egy bázisa
![{\displaystyle \{\varphi (\mathbf {c} )\}_{\mathbf {c} \in C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b530cd0d38984eeae64411d62040f3499a8cc75)
alkalmas c ∈ C ⊆ V1 vektorokkal. Ekkor C lineárisan független vektorrendszer, mert ha összefüggő volna, akkor a képe is összefüggő volna, ami viszont Im φ bázisa, tehát nem lehet összefüggő. Ez azt jelenti, hogy a
![{\displaystyle (\varphi (\mathbf {c} ))_{\mathbf {c} \in C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e01b1852c48d11630231a8957648a3e6a9d6486)
függvény lineáris izomorfizmus definiál a C által kifeszített altéren. Ebben az esetben is
![{\displaystyle V_{1}=\mathrm {Ker} \,\varphi \;\oplus \;\langle C\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6abf7365eb441078e53a0df77f471b00b1da3c3)
és
![{\displaystyle V_{1}\cong \mathrm {Ker} \,\varphi \;\oplus \;\mathrm {Im} \,\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961bac0853ccc67673cf9743367f5ac04fe35679)
1. Egy A mátrix esetén a v
Av lineáris leképezés. Ennek a leképezésnek a magját az A mátrix magjának nevezzük.
Az
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1&-1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad140c6869c3cd8b76f615bf25f97ec614fd37e)
magja nem más, mint egy R3 egy origón áthaladó síkja:
![{\displaystyle \mathrm {Ker} \,A=\{(x,y,z)\mid 2x+y-z=0\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7dfe24467b3d464e78781a24f764b0f9c96f2c9)
A dimenziótétel segíthet abban, hogy megállapítsuk, hogy a sík valóban kétdimenziós. Világos, hogy Im A = rang A = 1, mert egyetlen sorból álló mátrixról van szó, így dim Ker A = 3 - 1 =2.
2. A dimenziótétel végtelen dimenziós terekre is igaz. Ekkor persze ugyanazok a paradoxonok lépnek fel, mint a számosságaritmetikában.
A T testbeli értékű sorozatok Tω terében az
![{\displaystyle (a_{0},a_{1},...,a_{n},...){\overset {\lambda }{\mapsto }}(a_{0},a_{2},...,a_{2n},...)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb0eb84fedc3f5edf034bae77ca7626804c12c3)
leképezés lineáris,
![{\displaystyle \mathrm {Ker} \,\lambda =\{(0,a_{1},0,a_{3},...)\mid a_{1},a_{3},...\in T\},\quad \quad \mathrm {dim} \,\mathrm {Ker} \,\lambda =\aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2128dc1b7468d5d4311345f304a4c1b00c3994d)
![{\displaystyle \mathrm {Im} \,\lambda =T^{\omega },\quad \quad \mathrm {dim} \,\mathrm {Im} \,\lambda =\aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9f0827ab404b895ac13cc2c1b0ee3784e312e2)
így a dimenziótétel formulája átmegy az
![{\displaystyle \aleph _{0}+\aleph _{0}=\aleph _{0}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb1d3c19c4d763bd7c754f3851322bc2bf28dfc5)
egyenlőségbe.
Bár Im λ az egész tér mégis λ (a végesdimenziósokkal ellentétben) nem injektív, mivel Ker λ ≠ {0}.
- ↑ Itt az angolban Splitting Lemma néven ismert tételről van szó, lásd: Mac Lane, Birkhoff, Algebra, p. 328.
- ↑ Freud, Lineáris algebra könyvben található gondolatmenetét követjük. Lásd: p. 146
- Freud Róbert, Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1998.
- Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff, Algebra, Chelsea, 1999. ISBN 0-8218-1646-2