Bázis (lineáris algebra)

Ugyanaz a vektor, több bázisban reprezentálva, lila és piros nyilakkal

A lineáris algebrában egy vektortér bázisa egy olyan vektorhalmaz, melyben lévő elemek egymástól lineárisan függetlenek és lineáris kombinációik megadják a vektortér minden elemét (azaz generátorrendszert alkotnak). A bázis egy minimális számú generátorrendszere a térnek és egy maximális számosságú, egymástól lineárisan független elemekből álló részhalmaza is egyben.

A bázis elemei a bázisvektorok. Ha egy vektort egy bázis vektorainak lineáris kombinációjaként állítunk elő, akkor az együtthatók rendre a vektor koordinátái az adott bázisban. Függvényterekben a bázis elemeit bázisfüggvényeknek nevezzük. Egy vektortérben általában több bázis is van; a bázisváltást koordinátatranszformációnak is nevezzük. Ha más bázisokról is szó van, akkor ezt a bázist Hamel-bázisként említik. Nem tévesztendő össze egy koordináta-rendszer bázisával, ami egy másik fogalom.

Definíció

Vektorok egy B ⊆ V halmaza (ami lehet véges vagy végtelen) sok definíció szerint akkor bázis (Hamel-bázis), ha a vektortér minden eleme, lényegében egyértelműen, állítható elő véges sok, B-beli elem lineáris kombinációjaként. A „lényegében” szó itt arra utal, hogy két előállítás csak nulla együtthatójú tagokban különbözhet egymástól.

Adva legyen a $V$ vektortér, és legyen $B$ egy részhalmaz $V$-ben! A következő definíciók egyenértékűek:

• $V$ minden eleme előáll $B$ elemeinek lineáris kombinációjaként, és ez az előállítás egyértelmű
• $B$ minimális generátorrendszere $V$-nek; azaz $V$ minden eleme előáll $B$ elemeinek lineáris kombinációjaként, de ez $B$ egy részhalmazára sem teljesül
• $B$ maximális lineárisan független halmaz $V$-ben, azaz nincs $V$-ben olyan vektor, melyet hozzávéve $B$ független maradna.
• $B$ lineárisan független generátorrendszer $V$-ben.

Alkalmas $I$ indexhalmaz segítségével egy bázis írható úgy, mint $B=\{b_{i}:\;i\in I\}$; egy véges bázis úgy, mint $B=\{b_{1},\dotsc ,b_{n}\}$. Egy $I$ indexhalmaz bevezetésekor gyakran a család írásmódot használják; például ahelyett, hogy $B=\{b_{i}:\;i\in I\}$, azt írják, hogy $b=(b_{i})_{i\in I}$. Ha az $I$ indexhalmaz rendezett, akkor az a bázist is sorba rendezi. Ekkor $b$ rendezett bázis. Például $b=(b_{1},\dotsc ,b_{n})=(b_{i})_{i\in \{1,\dotsc ,n\}}$ véges bázis, $b=(b_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ megszámlálhatóan végtelen bázis. Ez lehetővé teszi az irányok definiálását vektorterekben.

Habár a bázisokat többnyire halmazként írjuk fel, praktikusabb indexelést használni. Ekkor a koordinátavektorok alakja $x=(x_{i})_{i\in I}$; a koordinátatér $K^{I}$. Rendezett $I$ indexhalmaz esetén a bázis is rendezett. Például ha $I=\{1,\dotsc ,n\}$, akkor $x=(x_{1},\dotsc ,x_{n})$ (a koordináták számozása). A koordinátatér $K^{n}$; valós, illetve komplex esetben $\mathbb {R} ^{n}$, illetve $\mathbb {C} ^{n}$.

A definíció kibontása véges dimenzióban

Legyen $V$ egy $K$ feletti vektortér (jelben: $_{K}V$), $B=(v_{1},v_{2},...,v_{n})$ a vektortér bázisa, ha

1.)   a $B$ generátorrendszere $V$- nek:

Bármely $_{K}V$ $v$ vektora esetén egyértelműen léteznek $k_{1},k_{2},...,k_{n}K$- beli skalárok úgy, hogy $\sum _{i=1}^{n}k_{i}v_{i}=v$

Ebben az esetben a $k_{1},k_{2},...,k_{n}$ skalárokat a vektor $B$ bázis szerinti koordinátáinak nevezzük.

2.) $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ egymástól lineárisan független vektorok:

Ha $\sum _{i=1}^{n}k_{i}v_{i}=0$, akkor $k_{1}=k_{2}=...=k_{n}=0$.

A $_{K}V$ vektortér dimenzióját a $B$ bázis számossága adja meg:

$\dim _{K}V=|B|$

Ennek következménye, hogy ha $_{K}Vn$ dimenziós vektortérnek $B$ és $B'$ vektorlisták egyaránt bázisai, akkor $|B|=|B'|=n$.

Az ekvivalens definíciók egyenértékűségének bizonyítása

• Ha minden vektor egyértelműen kifejezhető $B$ elemeinek lineáris kombinációjaként, akkor $B$ generátorrendszer. Ha $B$ nem minimális generátorrendszer, akkor van egy $B'$ valódi részhalmaza, ami szintén generátorrendszer. Legyen most $b^{*}\in B\setminus B'$; ekkor $b^{*}$ kifejezhető $B'$ elemeinek lineáris kombinációjaként, tehát kétféleképpen is felírható $B$ elemeinek lineáris kombinációjaként, ami ellentmond az egyértelműségnek. Ennélfogva $B$ minimális.
• A minimális generátorrendszerek lineárisan függetlenek. Ha $B$ nem lineárisan független, akkor van egy $b^{*}\in B$, ami kifejezhető $B\setminus \{b^{*}\}$ lineáris kombinációjaként. Ekkor $B$ vektorainak minden lineáris kombinációja behelyettesítéssel átírható $B\setminus \{b^{*}\}$ lineáris kombinációjára, így $B$ nem minimális.
• Egy lineárisan független generátorrendszernek maximális független halmaznak kell lennie. Ha nem maximális, akkor van egy $b^{*}$ vektor, ami lineárisan független $B$-től. De $b^{*}$ kifejezhető $B$ elemeinek lineáris kombinációjaként, ami ellentmond a lineáris függetlenségnek.
• Minden maximálisan független rendszer generátorrendszer is: Legyen $b^{*}$ tetszőleges vektor! Ha $b^{*}$ eleme $B$-nek, akkor kifejezhető $B$ lineáris kombinációjaként. Ha $b^{*}$ nincs benne $B$-ben, akkor $B\ \cup \{b^{*}\}$ valódi tartalmazó halmaza $B$-nek, így lineárisan összefüggő. Ekkor vannak olyan együtthatók, hogy $a_{1}b_{1}+\dotsb +a_{n}b_{n}=0$. Itt nem lehet az összes $b_{i}\in B$, mivel $B$ lineárisan független; így az egyik megegyezik $b^{*}$-gal. Feltehetjük, hogy ez $b_{1}$, és együtthatója a nullától különböző $a_{1}$. Ekkor $b^{*}=-{\tfrac {1}{a_{1}}}(a_{2}b_{2}+\dotsb +a_{n}b_{n})$. Az ábrázolás egyértelműsége $B$ lineáris függetlenségéből következik.

A létezés bizonyítása

A Zorn-lemmával igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.

Legyen $V$b vektortér! Bázis, azaz maximálisan lineárisan független részhalmazt keresünk benne. Vesszük az

$P:=\{X\subseteq V:\;X{\text{ lineárisan független}}\}\,$

halmazrendszert, ami részben rendezett a $\subseteq$ relációra. megmutatható, hogy:

• $P$ nem üres, hiszen benne van az üres halmaz. Ha $V$ nem üres, akkor az összes nullvektortól különböző vektora szerepel benne egyelemű halmazként.
• minden $C\subseteq P$ lánc $\bigcup C=\bigcup _{X\in C}X=\{v:\exists X\in C:v\in X\}$ is $P$-ben.

A Zorn-lemmából következik, hogy $P$-nek van maximális eleme. A maximális elemek azonban maximális lineárisan független részhalmazok $V$-ben, vagyis $V$ bázisai. Tehát $V$-nek van bázisa, és minden lineárisan független vektorból álló halmaz egy bázis része.

Egy $q$ elemű véges test fölötti $d$ dimenziós vektortérben

${\frac {1}{d!}}\prod _{k=0}^{d-1}\left(q^{d}-q^{k}\right)$

különböző bázis van.

Kiegészítési tétel

Adva legyen vektorok lineárisan független $T\subset V$ részhalmaza, és a létezés bizonyítása szakasz jelölésével legyen

$P:=\{X\subseteq V:\;T\subset X,\,X{\text{ lineárisan független}}\}\,$

és felhasználjuk azt az eredményt, hogy $T$-t tartalmazza $P$ egy maximális eleme, ami bázis $V$-ben. Így minden lineárisan független vektorhalmaz kiegészíthető bázissá.

Kicserélési tétel (Steinitz-tétel)

Legyen f₁,…,f_n lineárisan független rendszer és g₁,…,g_n generátorrendszer egy V vektortérben. Ekkor bármely f_i-hez található olyan g_j, hogy

$\mathbf {f} _{1},\ldots ,\mathbf {f} _{i-1},\mathbf {g} _{j},\mathbf {f} _{i+1},\ldots ,\mathbf {f} _{n}$

is lineárisan független rendszer.

Bizonyítás

Tegyük fel indirekt, az általánosság megszorítása nélkül, hogy például f₁-re ez nem igaz, vagyis az f₂,…,f_n vektorokhoz akármelyik g_j-t hozzávéve mindig összefüggő rendszert kapunk. Tehát f₂,…,f_n független rendszerből előállítható g₁,..., g_n generátorrendszer bármely eleme. Ebből következik, hogy f₂,…,f_n bázis. Így V minden eleme, speciálisan f₁ is előáll f₂,…,f_n lineáris kombinációjaként. De ez ellentmond f₁,…,f_n lineáris függetlenségének.

Kicserélési tételt felhasználva igazolható

Tétel

Legyen f₁,…,f_n lineárisan független rendszer és g₁,…,g_k generátorrendszer egy V vektortérben.

Ekkor n ≤ k.

Bizonyítás

Első lépésben f₁-et cseréljük ki valamelyik g_j-re, majd az így kapott új független rendszerből cseréljük ki f₂-t alkalmas g-re, és így tovább, egészen addig, míg az f_i-k el nem fogynak.

Az így nyert független rendszerben már csak g-k szerepelnek, és a függetlenség miatt nem lehet közöttük két egyenlő. Tehát legalább annyi g-nek kellett lennie, mint f-nek.

Következmény

Egy véges V vektortérben bármely két bázis azonos elemszámú.

Transzfinit eszközökkel igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.
Végtelen elemszám esetén ezt általában Hamel-bázisnak nevezik, és bizonyítható, hogy

Egy tetszőleges vektortér bármely két bázisa azonos számosságú.

Ebből következik viszont, hogy a vektortér dimenziója jóldefiniált fogalom.

Tulajdonságok

• Minden vektortérnek van bázisa.
• Egy vektortérnek több bázisa is lehet.
• Egy vektortér minden bázisa ugyanannyi elemből áll. Ez a szám, ami lehet végtelen kardinális szám is, a vektortér dimenziója.
  • Végtelen dimenzióban ez az állítás a Zorn-lemma következménye; valójában vele ekvivalens.
  • Az állítás következménye, hogy adott test felett adott dimenzióban izomorfizmus erejéig pontosan egy vektortér létezik.
• Legyen $_{K}V$ , $_{K}S$ résztere $_{K}V$-nek. Legyen $B'$ a $_{K}S$ nek bázisa, ekkor a $B'$ bázist ki lehet egészíteni úgy $V$- beli vektorokkal, hogy az bázisa legyen $V$-nek.
• Minden vektortér szabad objektum bázisa fölött. Ez a vektorterek univerzális tulajdonsága a kategóriaelmélet értelmében. Ez azt jelenti, hogy:

• Egy lineáris leképezést egyértelműen meghatározza egy bázis elemeinek képei. Legyen $V$ vektortér a $K$ test fölött! Ekkor a $\{b_{1},\dotsc ,b_{k}\}$ részhalmaz egyértelműen definiál egy $K^{k}\to V,\quad e_{i}\mapsto b_{i}$ lineáris leképezést, ahol $e_{i}$ az $i$-edik standard bázisvektor. Ez a leképezés:
• pontosan akkor injektív, ha a $b_{i}$ vektorok lineárisan függetlenek
• szürjektív, ha $b_{i}$-k generátorrendszert alkotnak
• bijektív, ha a $b_{i}$ vektorok bázist alkotnak

Egy bázis tetszőleges leképezése a képtérben lineáris leképezést definiál.

Mindez a jellemzés átvihető modulusokra is.

Koordináták

Egy V vektortérben, egy rögzített b₁,…,b_n bázis mellett tetszőleges v ∈ V vektor egyértelműen írható fel

$\mathbf {v} =\alpha _{1}\mathbf {b} _{1}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {b} _{n}$

alakban.
Ekkor az $\alpha _{i}\$ skalárok a v vektor koordinátái, a b₁,…,b_n bázisra vonatkozólag. Egy vektortérben a vektorok koordinátái a vektortér alaptestének elemei. Ezek együtt alkotják a $x=(x_{i})_{i\in B}$ koordinátavektort, ami egy másik vektortér, a $K^{B}$ koordinátatér eleme. Lényeges, hogy melyik koordináta melyik vektorhoz tartozik. Ha a bázis nincs indexelve, akkor az egyes vektorokat indexben jelölni kell.

Báziscsere

Legyen $_{K}V$ vektortérben $B=(v_{1},v_{2},...,v_{n})$ és $B'=(v'_{1},v'_{2},...,v'_{n})$ bázis.

a.) Ha $v$ a $V$ egyik vektora, úgy, hogy $v=\sum _{i=1}^{n}k_{i}v_{i}$, akkor a $[v]_{B}=(k_{1},k_{2},...,k_{n})$ a $v$ vektor felírása a $B$ bázisban

b.) Legyen $t_{i}jK$-beli elem minden $i$-re és $j$-re. Felírható a következő egyenletrendszer:

$v'_{1}=t_{11}v_{1}+t_{21}v_{2}+...+t_{n1}v_{n}$

$v'_{2}=t_{12}v_{1}+t_{22}v_{2}+...+t_{n2}v_{n}$

$...$

$v'_{n}=t_{1n}v_{1}+t_{2n}v_{2}+...+t_{nn}v_{n}$

Ekkor a $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ vektorokhoz tartozó együtthatókat rendre beírjuk egy mátrix oszlopaiba, a keletkezett mátrix a $B'$ bázisból $B$ bázisba való áttérési mátrix lesz.

$\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}t_{11}&t_{12}&\cdots &t_{1n}\\t_{21}&t_{22}&\cdots &t_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n1}&t_{n2}&\cdots &t_{nn}\end{pmatrix}}$

Példák

e₁ és e₂ a sík egy bázisa

• a síkbeli, közönséges vektorok vektorterében bázist alkot a szokásos i, j ortonormált vektorpár.
• a standard bázis az $\mathbb {R} ^{2}$ euklidészi síkban, vagyis az $\{(1,0),(0,1)\}$ vektorpár
• két, nem egyazon, vagy ellentétes irányba mutató vektor az euklidészi síkban
• hasonlóan $\mathbb {E} ^{3}$ -ben a szokásos, jobbsodrású vektorhármas

$\mathbf {i} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\mathbf {j} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {k} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

• $\mathbb {R} ^{n}$-ben ortonormált bázist alkot az

$\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\ldots ,\mathbf {e} _{n}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$

vektorhalmaz, mely $\mathbb {R} ^{n}$ standard bázisa.

• $\mathrm {F} ^{n\times k}$ -ban bázis

${\begin{pmatrix}1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}_{n\times k},{\begin{pmatrix}0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}_{n\times k},\ldots ,{\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &1\end{pmatrix}}_{n\times k}$

ahol 0, 1 az F test null- illetve egységeleme.

• az F feletti polinomok vektorterében bázist alkotnak az

$\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \}$

vektorok.

• a polinomok vektorterében vannak más bázisok, amelyek konkrét alkalmazásokban hasznosabbak, mint a monomok, például a Legendre-polinomok
• a legfeljebb k-adfokú polinomok egy bázisa: $\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{k}\}$
• a $\{0\}$ nullvektortérben az üres halmaz
• a $\mathbb {C}$, mint $\mathbb {R}$ fölötti vektortérben az $\{1,i\}$ halmaz
• a $\mathbb {C}$, mint $\mathbb {R}$ fölötti vektortérben egy olyan számpár, melyek hányadosa nem valós
• a valós számsorozatok körében az $\{(1,0,0,0,\dotsc ),(0,1,0,0,\dotsc ),(0,0,1,0,\dotsc ),\dotsc \}$ vektorok lineárisan függetlenek, de nem alkotnak bázist, mivel például $(1,1,1,1,\dotsc )$ nem fejezhető ki véges sok elem lineáris kombinációjaként

• $\mathbb {R}$, mint $\mathbb {Q}$ fölötti vektortér esetén van bázis, amit nem lehet explicit megadn

Speciális vektorterekben

Valós és komplex vektorterek további topológiai struktúrával bírnak. A fent bevezetett bázisfogalomtól eltérő bázisok is definiálhatók bennük.

Bázis és duális bázis a háromdimenziós valós vektortérben

A klasszikus mechanikában a megfigyelési teret skalárszorzatos háromdimenziós valós vektortérrel, azaz a (V³, ·) vektortérrel modellezik. A skalárszorzat megléte a vektorteret további tulajdonságokkal ruházza fel.

Háromdimenziós valós vektortérben minde ${\vec {b}}_{1,2,3}$ bázishoz tartozik pontosan egy ${\vec {b}}^{1,2,3}$ duális bázis úgy, hogy ${\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {b}}^{j}=\delta _{i}^{j},$ ahol δ a Kronecker-delta. A skalárszorzattal definiálható a vektorok normája és szöge, így előállíthatók ortonormált bázisok, melyek elemei páronként ortogonálisak, és normájuk egységnyi. Ortonormált bázisok esetén a duális bázis megegyezik a bázissal.

Minden ${\vec {v}}$ vektor kifejezhető bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

${\vec {v}}=\sum _{i=1}^{3}({\vec {v}}\cdot {\vec {b}}^{i}){\vec {b}}_{i}=\sum _{i=1}^{3}({\vec {v}}\cdot {\vec {b}}_{i}){\vec {b}}^{i}$

A skalárszorzattal ellátott háromdimenziós valós vektortér teljes is, azaz Hilbert-tér.

Hamel- és Schauder-bázisok skalárszorzatos terekben

Valós és komplex skalárszorzatos vektorterekben, különösen a Hilbert-terekben az elemek előállíthatók más, bizonyos céloknak megfelelőbb módon. Ebben az előállításban ortonormált bázist használunk, de megengedünk végtelen összegeket is. A végtelen összeg megengedése miatt ez nem bázis a fenti értelemben, így egy másik nevet kap: ez a Schauder-bázis. A fent leírt bázist ekkor Hamel-bázisnak hívják.

Auerbach-bázis

Egy Auerbach-bázis egy normált vektortér sűrű alterének Hamel-bázisa; úgyhogy minden bázisvektor távolsága a többi vektor által generált altértől megegyezik a bázisvektor normájával.

A különböző bázisfogalmak elhatárolása

• A Hamel- és a Schauder-bázis is lineárisan független vektorokból áll.
• Egy Hamel-bázis, röviden bázis vektorok véges lineáris kombinációjával fejezi ki a tér vektorait.
• Véges dimenziós valós, illetve komplex skalárszorzatos vektorterekben egy ortonormált bázis egyszerre Hamel- és Schauder-bázis.
• Végtelen dimenziós, teljes valós vagy komplex skalárszorzatos vektortérben, speciálisan végtelen dimenziós Hilbert-térben a Hamel- és a Schauder-bázisok sosem esnek egybe. Végtelen dimenziós esetben egy Hamel-bázis nem mindig ortonormálható.
• Végtelen dimenziós, szeparábilis Hilbert-tér Hamel-bázisa nem megszámlálható; ezzel szemben egy Schauder-bázis megszámlálható. Nem létezik $\aleph _{0}$ Hamel-dimenziós Hilbert-tér.
• Hilbert-terekben bázison többnyire Schauder-bázist értenek; skalárszorzat nélküli vektorterekben mindig Hamel-bázist.

Általánosítás

A test feletti vektortér fogalmának általánosítása a gyűrű feletti modulus. Az állítás, miszerint minden vektortérnek van bázisa, nem általánosítható modulusokra. Ennek hátterében az áll, hogy a gyűrű nem minden eleme invertálható. Egy modulusnak akkor és csak akkor van bázisa, ha a modulus szabad.

Források

• Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.
• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschaft, Mannheim u. a. 1990, ISBN 978-3-411-14101-2.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Basis (Vektorraum) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.