Csillaggráf
| Csillag | |
 | |
| Az S7 csillag. (Egyes szerzők sorszámozása szerint az S8.) | |
| Csúcsok száma | k+1 |
| Élek száma | k |
| Átmérő | min (2, k) |
| Derékbőség | ∞ |
| Kromatikus szám | min (2, k + 1) |
| Élkromatikus szám | k |
| Egyéb | Éltranzitív Fa Egységtávolság- Gyufa- Páros |
| Jelölés | Sk |
A matematika, azon belül a gráfelmélet területén egy Sk csillaggráf vagy röviden csillag (star) megegyezik a K1,k teljes páros gráffal: olyan fa, melynek egyetlen közbülső csúcsa és k levele van (kivétel a k ≤ 1 eset, amikor nincs közbülső csúcs, de van k + 1 levél). Más szerzők definíciója szerint az Sk csillag a k rendű fa, melynek maximális átmérője 2; ebben az esetben a k > 2 csillag k − 1 levéllel rendelkezik.
A három élű csillagot nevezik karomnak is.
Az Sk csillag elegánsan élcímkézhető, ha k páros, és nem az, ha k páratlan. Éltranzitív gyufagráf, átmérője 2 (ha k > 1), Girthparamétere ∞ (nem tartalmaz kört), élkromatikus száma k, kromatikus száma 2 (ha k > 0). A csillagnak egy nagy automorfizmus-csoportja van, a k betű felett értelmezett szimmetrikus csoport.
A csillagok úgy is leírhatók, mint azok az összefüggő gráfok, melyben legfeljebb egy csúcs foka nagyobb 1-nél.
Más gráfcsaládokkal való kapcsolata
[szerkesztés]A karomgráf szerepel a karommentes gráfok definíciójában – ezek olyan gráfok, melyek nem tartalmazzák a karmot feszített részgráfként.[1][2] A karom az egyetlen kivétel Whitney izomorfizmustétele alól: a két összefüggő gráf élgráfjai izomorfak, az eredeti gráfok is izomorfak, kivéve a K3 háromszöggráf és a K1,3 csillaggráf esetét, melyek élgráfjai izomorfak, de ők maguk nem azok.[3]
A csillag egy speciális fa. Ahogy a többi fa, a csillag is leírható Prüfer-kódjával; a K1,k csillag Prüfer-kódja a középponti csúcs k − 1 másolatából áll.[4]
Több gráfinvariánst definiálnak csillagok segítségével. A csillagarboricitás a minimális számú erdő, amikbe a gráf felosztható oly módon, hogy az erdő fái mind csillagok legyenek,[5] egy gráf csillagkromatikus száma pedig a legkevesebb szín, ami szükséges a csúcsok színezéséhez oly módon, hogy bármely két szín együtt olyan részgráfot alkosson, amiben az összefüggő komponensek csillagok.[6] Az 1 fafelbontású gráfok pontosan azok, melyekben minden összefüggő komponens egy csillag.[7]
További alkalmazásai
[szerkesztés]A karom csúcsai közötti távolságok példát adnak olyan véges metrikus térre, ami nem ágyazható be izometrikusan egy tetszőleges dimenziószámú euklideszi térbe.[8]
A csillagpontos hálózat az egyik legkorábbi hálózati topológia.
A csillaggráf éleinek fix intervallumokkal helyettesítve történő mértani megvalósítását használják a tropikus geometria területén a görbék helyi modelljének megalkotására. Egy tropikus görbe olyan metrikus tér, ami lokálisan egy csillag formájú metrikus gráffal izomorf.
Jegyzetek
[szerkesztés]
- ↑ Faudree, Ralph; Flandrin, Evelyne & Ryjáček, Zdeněk (1997), "Claw-free graphs — A survey", Discrete Mathematics 164 (1–3): 87–147, DOI 10.1016/S0012-365X(96)00045-3.
- ↑ Chudnovsky, Maria & Seymour, Paul (2005), "The structure of claw-free graphs", Surveys in combinatorics 2005, vol. 327, London Math. Soc. Lecture Note Ser., Cambridge: Cambridge Univ. Press, pp. 153–171, <http://www.columbia.edu/~mc2775/claws_survey.pdf>. Hozzáférés ideje: 2016-12-31.
- ↑ (Whitney 1932); (Krausz 1943); (Harary 1972), Theorem 8.3, p. 72. Harary megadja a tétel egyszerűsített bizonyítását itt: (Jung 1966).
- ↑ Gottlieb, J.; Julstrom, B. A. & Rothlauf, F. et al. (2001), "Prüfer numbers: A poor representation of spanning trees for evolutionary search", Proc. Genetic and Evolutionary Computation Conference, Morgan Kaufmann, pp. 343–350, <http://www.ads.tuwien.ac.at/publications/bib/pdf/gottlieb-01.pdf>. Hozzáférés ideje: 2008-09-14 Archiválva 2006. szeptember 26-i dátummal a Wayback Machine-ben Archivált másolat. [2006. szeptember 26-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. december 31.).
- ↑ Hakimi, S. L.; Mitchem, J. & Schmeichel, E. E. (1996), "Star arboricity of graphs", Discrete Math. 149: 93–98, DOI 10.1016/0012-365X(94)00313-8
- ↑ Fertin, Guillaume; Raspaud, André & Reed, Bruce (2004), "Star coloring of graphs", Journal of Graph Theory 47 (3): 163–182, DOI 10.1002/jgt.20029.
- ↑ Robertson, Neil & Seymour, Paul D. (1991), "Graph minors. X. Obstructions to tree-decomposition", Journal of Combinatorial Theory 52 (2): 153–190, DOI 10.1016/0095-8956(91)90061-N.
- ↑ Linial, Nathan (2002), "Finite metric spaces–combinatorics, geometry and algorithms", Proc. International Congress of Mathematicians, Beijing, vol. 3, pp. 573–586