Prüfer-kód
A gráfelméletben egy n csúcsú számozott fa Prüfer-kódja egy n–2 hosszú számsorozat, melyet a későbbiekben részletezett szabály szerint rendelünk a fához. (A kód tulajdonképpen n–1 hosszúságú, csak az utolsó elem elhagyható, mert az mindig n.)
Prüfer-kód hozzárendelése számozott fához
[szerkesztés]Tekintsünk egy tetszőleges fát az {1,2…n} csúcsokon, és rendeljünk hozzá egy számsorozatot a következőképpen: Hagyjuk el a fa elsőfokú csúcsai közül azt, amelyiknek a legkisebb a sorszáma, és közben annak a csúcsnak írjuk fel a sorszámát, amellyel az elhagyott csúcs össze volt kötve. Legyen ez v1. Ezt ismételjük, amíg már csak egy csúcs marad. Nyilvánvaló, hogy ez a csúcs az n-edik sorszámú, hiszen egy fának mindig van legalább 2 elsőfokú csúcsa, és n-nél csak kisebb sorszámú csúcsok vannak, így előbb azokat hagyjuk el. Ezért a számsorozat végén nem is kell szerepelnie, hiszen egyértelmű. Az így kapott v1,v2,…,vn-2 számsorozat a fa Prüfer-kódja.
Algoritmus: Számozott fából Prüfer-kód
[szerkesztés]- Bemenet egy számozott fa (csúcsait az 1, 2, ..., n számokkal címkézzük meg)
- Végezzük el az alábbiakat mindaddig, amíg egyetlen él marad
- válasszuk ki a legkisebb számú levelet (fokszáma 1),
- írjuk ki a vele szomszédos csúcs számát,
- töröljük a fából a kiválasztott csúcsot (természetesen a hozzáilleszkedő éllel együtt).
- Az eredményül kapott számok a kiírás sorrendjében képezik a Prüfer-kódot.
A mellékelt ábrán
a legkisebb értékű levél az 1, tehát kiírjuk a 4-et, törüljük az 1-et
most legkisebb értékű levél a 2, kiírjuk a 4-et, töröljük a 2-t,
most legkisebb értékű levél a 3, kiírjuk a 4-et, töröljük a 3-t,
most legkisebb értékű levél a 4, kiírjuk az 5-öt, töröljük a 4-t,
egy él maradt, az (5,6), tehát vége. Eredmény: 4, 4, 4, 5.
Még egy példa:
/* graf0.be tartalma pl. az ábra szerint:
6
1 4
2 4
3 4
4 5
5 6
*/
// Számozott fából Prüfer-kód
#include <iostream>
#include <fstream>
int n, m, a[50], b[50], fok[50];
// Bemeneti állomány: csúcsok száma, majd élek végpontjai (szóközzel elválasztva)
std::ifstream f("graf0.be");
// Adatok beolvasása
void olvas()
{
int i;
f >> n;
m = n - 1;
// Fokszámok nullázása
for (i = 1; i <= n; i++)
fok[i] = 0;
// Élek beolvasása, fokszámok kiszámítása
for(i = 1; i <= m; i++)
{
f >> a[i];
f >> b[i];
fok[ a[i] ]++;
fok[ b[i] ]++;
}
}
void pruefer()
{
int i,j,k;
for (i = 1; i <= n-2; i++)
{
j = 1;
// Legkisebb számú levél keresése
while ( (j<=n) && (fok[j]!=1) )
j++;
k = 1;
while ( (k<=m) && (a[k]!=j) && (b[k]!=j ) )
k++;
// Kód újabb elemének kiírása
if (a[k] == j)
std::cout << b[k] << " ";
else
std::cout << a[k] << " ";
fok[ a[k] ]--;
fok[ b[k] ]--;
a[k]=0;
b[k]=0;
}
}
int main()
{
olvas();
std::cout << std::endl;
pruefer();
std::cout << std::endl;
return 0;
}
Számozott fa hozzárendelése Prüfer-kódhoz
[szerkesztés]Az első módszer alapötlete a következő: Hozzáadjuk a Prüfer-kódhoz utolsó elemként az n-et. Kiválasztjuk azt a legkisebb pozitív természetes számot, amelyik nem szerepel a sorozatban (Prüfer-kód, és n). A létrehozandó fában összekötjük ezt a számot a sorozat első elemével. Ezt a legkisebb számot hozzáadjuk a sorozathoz, majd töröljük a sorozat első elemét. Ezt a folyamatot addig folytatjuk, ameddig el nem fogynak az eredeti sorozat elemei.
Algoritmus: Prüfer-kódból számozott fa (1. módszer)
[szerkesztés]- Bemenet: egy n-2 elemű Prüfer-kód, amelyhez hozzáadjuk az n értéket utolsónak.
- Végezzük el n-1-szer a következőket:
- meghatározzuk azt a legkisebb pozitív természetes számot amelyikhez még nem húztunk élt és nem eleme a sorozatnak,
- kössük össze egy éllel az ezzel a számmal jelölt csúcsot a sorozat első elemével,
- töröljük a sorozat első elmét
- Eredmény: a kapott fa
A mellékelt példa esetében a Prüfer-kód: 4,4,4,5. Az algoritmus lépései:
| 4 | 4 | 4 | 5 | 6 | (1,4) él | |||||
| 4 | 4 | 5 | 6 | 1 | (2,4) él | |||||
| 4 | 5 | 6 | 1 | 2 | (3,4) él | |||||
| 5 | 6 | 1 | 2 | 3 | (4,5) él | |||||
| 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | (5,6) él |
/* graf.be tartalma pl. az ábra szerint:
4
4 4 4 5
*/
// Prüfer-kódból számozott fa
#include <iostream>
#include <fstream>
int n, m, a[50];
// Bemeneti állomány: kód hossza, majd a kód elemei (szóközzel elválasztva)
std::ifstream f("graf.be");
// Adatok beolvasása
void olvas()
{
int i;
f >> n;
for(i = 1; i <= n; i++)
f >> a[i];
n++;
// Az utolsó elem hozzáadása
a[n] = n+1;
}
// A sorozat ellenőrzése
void ellenoriz()
{
int i;
for (i = 1; i <= n; i++)
if (a[i]>n+1)
{
std::cout << "A sorozat nem lehet fa ";
exit(1);
};
}
void pruefer()
{
int i, j, min;
m = n;
for(i = 1; i <= n; i++)
{
min = 0;
do
{
// A legkisebb szám, amely nincs benne az a[i], ..., a[m] sorozatban
min++;
j = i;
while ((j<=m) && (a[j]!=min))
j++;
} while (j <= m);
m++;
// A legkisebb elem hozzáadása a sorozathoz
a[m] = min;
// Él kiírása
std::cout << "(" << min << "," << a[i] << ")" << std::endl;
}
}
int main()
{
olvas();
std::cout << std::endl;
ellenoriz();
pruefer();
return 0;
}
A második módszer alapötlete a következő: A Prüfer-kódból kiszámítjuk az egyes csúcsok fokszámát, majd ezek alapján berajzoljuk a fa éleit, mindig levelet (1 fokszámú csúcsot) keresve.
Algoritmus: Prüfer-kódból számozott fa (2. módszer)
[szerkesztés]- Bemenet: Prüfer-kód
- Kiszámítjuk a csúcsok fokszámát a következőképpen:
- kezdetben minden fokszám 1, az i csúcs fokszámát jelölje fi,
- a Prüfer-kód minden i elemére, növeljük 1-gyel az fi-t,
- a Prüfer-kód minden i elemére végezzük el:
- keressük meg az f sorozat első 1-es elemét, legyen ennek a sorszáma j,
- kössük össze egy éllel az i és j csúcsokat,
- csökkentsük 1-gyel az fi és fj értékeket.
- f-ben két 1-gyel egyenlő elem marad, legyenek ezek fi és fj; kössük össze az i csúcsot a j csúccsal.
- Eredmény: az élekből összeálló fa.
A mellékelt ábra esetében a Prüfer-kód 4,4,4,5, az algoritmus lépései:
A fokszámsorozat: 1,1,1,4,2,1.
Kód: 4,4,4,5
Fokszámsorozat: 1,1,1,4,2,1 él: (1,4)
Kódrész: 4,4,5
Fokszámsorozat: 0,1,1,3,2,1 él: (2,4)
Kódrész: 4,5
Fokszámsorozat: 0,0,1,2,2,1 él: (3,4)
Kódrész: 5
Fokszámsorozat: 0,0,0,1,2,1 él: (4,5)
Kódrész:
Fokszámsorozat: 0,0,0,0,1,1 él: (5,6)
/* graf.be tartalma pl. az ábra szerint:
4
4 4 4 5
*/
// Prüfer-kódból számozott fa
#include <iostream>
#include <fstream>
int n, a[50], fok[52];
// Bemeneti állomány: kód hossza, majd a kód elemei (szóközzel elválasztva)
std::ifstream f("graf.be");
// Adatok beolvasása
void olvas()
{
int i;
f >> n;
for (i = 1; i <= n; i++)
f >> a[i];
}
// A sorozat ellenőrzése
void ellenoriz()
{
int i;
for (i = 1; i <= n; i++)
if (a[i] > n+1)
{
std::cout << "a sorozat nem lehet fa ";
exit(1);
};
}
// Az egyes csúcsok fokszámának kiszámítása
void fokszam()
{
int i;
for (i = 1; i <= n+2; i++)
fok[i] = 1;
for (i = 1; i <= n; i++)
fok[ a[i] ]++;
}
void pruefer()
{
int i, j, k;
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j=1; j<=n+2; j++)
{
if (fok[j]==1)
{
std::cout << "(" << j << "," << a[i] << ")" << std::endl; // él kiírása
fok[ a[i] ]--;
fok[j]--;
break;
}
}
k = 1;
while ( (k<=n+2) && (fok[k]!=1) )
k++;
std::cout << "(" << k << ","; // utolsó él egyik csúcsa
k++;
while ( (k<=n+2) && (fok[k]!=1) )
k++;
std::cout << k << ")"; // utolsó él másik csúcsa
}
int main()
{
olvas();
std::cout << std::endl;
ellenoriz();
fokszam();
pruefer();
std::cout << std::endl;
return 0;
}
Története
[szerkesztés]
A Prüfer-kódot először Heinz Prüfer alkalmazta 1918-ban, melynek segítségével bizonyította a Cayley-formulát.
Források
[szerkesztés]- Prüfer, H. (1918). „Neuer Beweis eines Satzes über Permutationen”. Arch. Math. Phys. 27, 742–744. o.
- Katona Gyula Y., Recski András, Szabó Csaba: Gráfelmélet, algoritmuselmélet és algebra, Typotex Kiadó, 2002.
