Vita:Reláció

Ez a szócikk témája miatt a matematikai műhely érdeklődési körébe tartozik.
Bátran kapcsolódj be a szerkesztésébe! Besorolatlan Ezt a szócikket még nem sorolták be a kidolgozottsági skálán. Nem értékelt Ezt a szócikket még nem értékelték a műhely fontossági skáláján. Értékelő szerkesztő: ismeretlen

A szócikk jelenlegi formájában valójában a halmazelméleti relációk egy nagyon szűk körére tér csak ki, a homogén binér relációkra. Ezen struktúráknak bevezetése arra szolgál (az a szándékolt célja), hogy a nevezetes és sokat használt ekvivalencia- és rendezési relációk elméletének halmazelméleti modelljei legyenek.

Ezen kívül relációnak nevezzük az többváltozós relációs elméletek halmezelméleti modelljeiként bevezetésre kerülő (nem feltétlenül binér) homogén relációkat , a geometriai elméletekben szereplő predikátumok interpretációinak számító (nem feltétlenül binér, nem feltétlenül homogén) relációkat. Mindezek a modellelmélet számára alapvető fontosságú "matematikai relációk".

Továbbá Bourbaki óta az analízist is halmazelméleti alapokra szokás helyezni, így nem csak az analízis formális nyelvének függvényeit tekintik függvényeknek, hanem a halmazelméleti függvényeket is (mely lényegében a mindannyiónk által tanult függvényeknek felelnek meg). Ezen objektumok definiálásának elengedhetetlen segédeszköze a halmazelméleti reláció, mely rendezett párok halmazát jelenti (vagy az ezzel ekvivalens megfogalmazás: az AxB halmaz részhalmazai).

Valóban nem túl gyakran alkalmazott eszköz a kategóriaelméleti reláció, melyet talán szükségtelen megemlíteni.

Meg kell azonban említeni, hogy a formális nyelvek (a félreértések elkerülése érdekében megjegyzem, a formális nyelvekkel foglalkozó tudomány egy "nagyonhard" matematikai résztudomány) kétváltozós predikátumait (vagy relációjeleit) is relációknak nevezik, ez is a matematika egy relációfogalma.

Azt a mondatot pedig, hogy a "megfeleltetés a relációknál általánosabb fogalom" kissé miszticizmusra hajlónak ítélem, mert valami metafizikai jellegű dologot sejtet, és nem világítja meg, hogy milyen jellegű a reláció általánosítása megfeleltetésre.

Mindazonáltal dícséretes, az bátorság és elszántság, ahogy a cikk írója a belevág reláció definiálásába. Én lusta lettem volna hozzá, ám szívesen ajánlom fel a segítségemet, ha az szükséges.Mozo 2005. augusztus 27., 15:04 (CEST)

No! Hát lesz mit csinálni. Azt hiszem úgy kezdődik, hogy nem tudom, hogy mi az a homogén reláció. Jó eséllyel arról van szó, hogy én nem találkoztam nem homogén relációval, tehát erre nézve azt hiszem mindenképpen segítségre lesz szükségem. Geometriából az egyetemi képzésem nyugodtan nevezhető szerénynek, lehet, hogy emiatt nem voltam tisztában a dolog jelentőségével.

Hogy nem csak binér relációk vannak, az a lap elmentése után bennem is felmerült, aztán gyorsan megnyugtattam magam (úgy látszik nem kellett volna), hogy valahol Burris és Sankappanavar Bevezetés az univerzális algebrába könyvében olvastam egy olyan - általam nem nagyon megrágott - kijelentést, hogy nekik "lényegében" elég is a kétváltozós relációkat vizsgálni. Lehet, azért írtak ilyet, mert az unverzális algebrában ez valóban elég, de a matematikában ez úgy általában nem igaz?

Hogy a megfeleltetés fogalmának mennyiben speciális esete a reláció, azt úgy gondoltam megoldani, hogy megírom a megfeleltetés szócikket is s akkor egyételműen összevethető lesz a két definíció. Abban bízok, hogy ha ez megtörténik, akkor mindennemű miszitkus köd eloszlik erről a kérdésről.

Ugyanakkor kicsit elbizonytalanodtam, hogy tarthatom-e azt az elképzelésemet, hogy az $A\times B$ részhalmazait vezetem be, mint megfeleltetéseket és a reláció elnevezést csak az $A\times A$ esetre tartom fenn. (Nem binér esetben megfelelően változtatva.) Azért gondoltam így haladni, mert azok a könyvek, amiken én "nőttem fel" határozottan és következetesen így tárgyalták a két fogalmat.

(Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika. Poligon, Szeged, 1996.

Szendrei-Czédéli-Szendrei: Absztrakt algebrai feladatok. JATEPress, Szeged, 1985.

Schmidt Tamás: Algebra. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1994.

Burris-Sankappanavar: Bevezetés az univerzális algebrába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1988.)

Ezzel szemben, most úgy látom, hogy egy finoman szólva is velem legalább egy "súlycsoportban" lévő matekos számára egyértelmű, hogy a halmazelméleti reláció az $A\times B$ típusú dolog (én ugye ezt megfeleltetésenk nevezném), úgyhogy nem is tudom, hogy hogyan tovább. Ebben mindenképpen hálás lennék újabb szempontokért.

Köszönöm a bátorítást, azt hiszem elkél. --Kuba Péter 2005. augusztus 27., 16:10 (CEST)

Okszi, értelek! :) Elég elterjedt hivatkozásként Maurer Gyula és Virág Imre, Bevezetés a struktúrák elméletébe (Dacia Könyvkiadó) könyve (ez egy nagyon jó erdélyi könyv), az asztrakt algebrás feladatos könyvet asszem én is ismerem. Talán az lehet a szemléletbeli eltérés oka, hogy Gubbbal mi ELTÉsek vagyunk és kicsit másként tanulhattuk a relációkat mint a szegediek. (Meg mi nagyon "logikás" beállítottságúak is vagyunk ráadásul és ez nagyon meglátszik a szóhasználatunkon.)

1. a matematika alapjai szempontjál valóban igaz az az állítás, hogy a "kétváltozós relációkra visszavezethetők az többváltozós relációk", de ennek ellenére gyakran szükség van többváltozós relációra és ezek tárgyalása így elkerülhetetlen. Például az elemi geometria "közte van" relációja háromváltozós (mondjuk ABC azt jelenti: B olyan pont, mely az A és C pontok között van).

2. homogén csak annyit jelent, hogy AxA-beli részhalmaz és nem az általánosabb AxB -beli.

3. az ELTÉn az analízissel foglalkozó tanárok általában az AxB részhalmazait nevezik relációknak, ennek lehet egy magyarított elnevezése a megfeleltetés, vagy hozzárendelés (ez utóbbit én is hallottam).

4. és akkor jön a matematikai logika, amiben a "reláció" már a legáltalánosabban az A₁ x A₂ x ... x A_n szorzat részhalmaza.

javaslom nézzük meg az angol verziót Mozo 2005. augusztus 27., 19:53 (CEST)

1. ÖÖÖ ... bevallom, látatlanban beszélek, de azt javaslom, általában ne nézzük meg a cikkek angol verzióját. Ritkán tetszik, amit ők csinálnak. ööö ... illetve, inkább nem pofázok bele, csak dohogtam egyet.
2. Még egy megjegyzés, hogy Maurer - nem véletlenül - nem részhalmazként definiálja a relációkat. Az eltérésnek a szurjektivitás definiálásában van jelentősége (a nem-maureri matematikéban u.is a "szurjektív függvény" - ahogy Szilágyi Tivadar teljes joggal mondaná - egy "nem létező matematikai fogalom", Maurer felépítésében viszont értelme is van). Telitalálat Felügyelő

No, utánanéztem egy pár könyvben, amit ma használnak felsőoktatásban, és arra jutottam, hogy úgy írom át a dolgot, hogy kezdek az $A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}$ definícióval (egyébként végtelen sok szorzata nem lehet?) és azon belül specifikálom a binért, meg a homogént. És akkor lesz egy olyan megjegyzés, hogy van, hogy csak a homogént nevezik relációnak és a nem homogénről mint megfeleltetésről beszélnek. Így hogy hangzik?

Emellett nem sikerült zöld ágra vergődnöm azt illetően, hogy hogyan lehet nem részhalmazként definiálni, illetve hogy milyen problémák jelentkeznek a szürjekciónál. Erről mondjatok valami tájékoztató jellegűt légyszi. Ha nagyon hosszú, elég az alapgondolatokat is, remélem végig tudom gondolni magam is. --Kuba Péter

"egyébként végtelen sok szorzata nem lehet?"

Elvileg lehetne tetszőleges I indexhalmazra a

$\prod \limits _{i\in I}A_{i}$

halmaz (közelebbről: szorzat) részhalmazait is relációként definiálni. Azonban egy matematikai struktúra formális nyelvében a reláció jelölése egy véges szimbólumsorozat (pl: $Rx_{1}x_{2}...x_{n}$), így relációt végtelen változósként elképzelni valami egészen mindentől elrugaszkodott halmazelméleti transzfinit szemlélettel lehet csak. Márpedig csak a formalizálható elméleteket szoktuk matematikainak gondolni.

"És akkor lesz egy olyan megjegyzés, hogy van, hogy csak a homogént nevezik relációnak és a nem homogénről mint megfeleltetésről beszélnek."

OK, kb úgy lehget, hogy az algebrában leginkább a homogént nevezik 'reláció'-nak, de használnak többváltozósat is. Az analízisben a halmazelméleti 'reláció' nem feltétlenül homogén, de leginkább kétváltozós.

"hogyan lehet nem részhalmazként definiálni"

Maurer-Virág (és még sokan mások szerint) relációnak egy R:=(A,B,r) rendezett hármast nevezünk, ahol r az AxB Descartes-szorzat részhalmaza. A 'szűrjektív reláció' megnevezés problémája az, hogy azt szoktuk mondani egy A elemein értelmezett és B-be képező relációra, hogy szűrjektív, ha értékkészlete egyenlő B-vel. Ez az R:=(A,B,r) esetén értelmes mert ekkor az R relációhoz hozzátartozik az "érkezési halmaza", így lehet Range(R)=B-ről beszélni. De ha R pusztán úgy definiálódik, mint rendezett párok halmaza (azaz r), akkor a 'szűrjektív reláció' megfogalmazás nem mondja meg, hogy mire képez rá. Esetleg az értékkészletre? De arra minden reláció ráképez. (Dettó függvényeknél.) 'szűrjektív reláció' helyett inkább a 'ráképez H-ra' vagy 'szűrjektív H-ra' elnevezés az értelmes. (Mert a szűrjektivitás egy halmaz és egy reláció (illetve függvény) közös tulajdonsága.)User: Mozo

Oké Mozo, azt hiszem a lényeget értem. Azért összefoglalom.

1. Éppen lehetne bevezetni "végtelen változós relációkat" de ilyen nem nagyon van (ha jól sejtem egyikőnk sem találkozott még ilyennel). Ha ez így van, akkor nyugodt szívvel ki lehet hagyni. Én a magam részéről hallgatni fogok róla, mint a sír.

2. Jó lesz ez így, hogy megjegyzésbe kerül az én eredeti koncepcióm a megfeleltetésekről, azokkal a kiegészítésekkel, amiket te itt írtál, hogy hol mi a konvenció

3. Mauer dolog: kettős érzések.

• Amit felfogtam belőle, hogy ott ugrik a majom a vízbe, hogy mikor tekintek két relációt azonosnak. Akkor-e, ha a két halmaz (nálad r) megegyezik, vagy valami más a kritérium. És a szócikkben jelenleg szereplő definíció alapján semmi nem indokolja, hogy ne akkor tekintsem, amikor a két halmaz megegyezik. Holott egészen pontosan annak is meg kell egyeznie, hogy mely két halmaz Decartes-szorzatának részhalmaza. Mert ha az elemek megegyeznek, de nem azonos alaphamazok vannak, akkor előfordulhat, hogy az egyik reláció szürjektív a másik meg nem. Oké, ezt elfogadom.
• Mégis azt gondolom (és erről vitatkozz velem bátran), hogy ha ezt bele is kerül a szócikkbe, akkor is csak valahol a végén, érdekességképpen álljon. Merthogy: Én azt gondolom, hogy ezt az oldalt olyan emberek fogják megkeresni, akiknek nincs különösebben nagy igénye iszonyatosan mély matematikai megfontolásokra. Le szeretnék tenni a diszkrét matek vizsgájukat progmaton, vagy a kalkulus vizsgájukat közgén (ne adj isten a bev mat vizsgát pl. pszichológián), és nagyjából ennyi számukra a reláció kalandja. Én úgy látom (tanítási tapasztalatom), hogy az ilyen embereket igen jól össze lehet zavarni nagyon precíz és nagyon nehezen átlátható definíciókkal. Talán neked is feltűnt, hogy a precíz definíciót csak a cikk közepén adtam meg, és csak egy kis "melegítés után", mert az a tapasztalatom, hogy így könnyebben megértik. Mármint először a szemlélet alakul ki (mi is pl. az az injektív leképezés), aztán jöhet a pontos definíció (mikor már a nem nagyon fogós esetekben ránézésre meg tudja, mondani, hogy egy leképezés injektív-e, de még nem tudná biztosra megmondani, hogy mi is az az injektivitás) és aztán ha még van időnk és lelkesedésünk, akkor jöhetnek az izgalmas pillanatok, hogy lám-lám, intuitíven erről vagy arról nem is tudtuk volna eldönteni, hogy injektív-e vagy nem, és most már a definícióval ez lehetséges, vagy hogy esetleg határozottan rosszat súgott volna az intuíciónk. Az a tapasztalatom, hogy aki nem nagyon matekos beállítottságú, azt a nagyon precíz, de nehezen átlátható definíciókkal inkább elbizonytalanítani lehet, mint tanítani. Persze ez az én hitem, hitvallásom a matematikát, tanítását, ilyesmiket illetően. Nyilván lehet máshogyan is látni. Engem a tapasztalataim ide vezettek. (S a legutóbb Kalmár László egy idézete erősített meg benne, aki azt mondta, hogy logikával foglalkozva egy idő után arra a meggyőződésre jutott, hogy mindig van a matematikai precizitásnak magasabb foka, és nem pusztán holmi "művészieskedésből" kifolyólag, hanem azért, mert ha az adott pontosítást nem tesszük meg, akkor lehet mutatni olyan mélységet, ahol valóban ellentmondásra jutunk, így a matematikai pontosság bizonyos tekintetben ízlés kérdése. De nyilván lehet mástól más idézetet találni. A lényeg, hogy végül egyetértsünk.)
• Szóval a Mauer javaslatnak és pláne annak kifejtésének, hogy miért is inkább így definiáljuk, hogy R=(A,B,r) (és nem úgy, ahogy a felhasználó egyébként a könyvében látja, csak nem értette és ezért kereste fel a wikipediat) leginkább egy megjegyzést tudnék elképzelni, hogy "ez is de nagyon érdekes, hogy még mindig nem vagyunk a vérpontos definíciónál".
• Amit itt leírtam, az nem tudom, hogy mennyire elfogadható, mert ez már messze nem a matematikáról szól, hanem arról, hogy mit gondolunk, mi a wikipedia, és hogy miért irogatunk itt. Kíváncsi vagyok a véleményedre, meg másokéra is.

4. Köszi a megjegyzéseket, segítettek.

--Kuba Péter 2005. augusztus 29., 17:28 (CEST)

Apróságok

Szükségem lenne mindenféle relációtulajdonságok listaszerű felsorolására, ezért kicsit hozzányúlok ezen a részen a cikkhez.

Rögtön meg is jegyezném, hogy a speciális relációk helyett jobban festene az, hogy reláció-tulajdonságok (én így szoktam látni). És akkor az ekvivalenciareláció is egy tulajdonság -- nevezetesen a három nevezetes tulajdonság együttes jelenléte. attila ^vita 2010. március 12., 07:37 (CET)

most egybeöntöttem ami ott volt. Szívesen rendezgetem őket később akár ábécébe is, csak így különszedve nem láttam sok értelmét. Igény szerint csoportosítok is. attila ^vita 2010. március 12., 07:51 (CET)