Vita:Matematikai struktúra

Ez a szócikk témája miatt a matematikai műhely érdeklődési körébe tartozik.
Bátran kapcsolódj be a szerkesztésébe! Színvonalas Ez a szócikk színvonalas besorolást kapott a kidolgozottsági skálán. Nélkülözhetetlen Ez a szócikk nélkülözhetetlen besorolást kapott a műhely fontossági skáláján. Értékelő szerkesztő: Bean49 (vita), értékelés dátuma: 2008. november 20.

Megjegyzés

Megjegyzés az angolwikiben is olvasgatóknak és a jövendő szerkesztőknek: Az angolwiki és a magyar definíció filozófiája eltérő. Szerintem az angol összekeveri a struktúra (mint egy típus halmazrendszer alakjában megadott reprezentánsa) és a struktúratípus (izomorf struktúrák/reprezentánsok osztálya) fogalmát. Ez néha még szakkönyvekben is előforduló döccenés, vagy inkább nevezzük gondatlan szóhasználatnak (főleg akkor hiba, ha, ahogy szokott lenni, a definíció az egyik szemléletre alapoz, míg a könyv többi része ezt fatálisan figyelmen kívül hagyja, és Klein-csoportról beszél, holott a saját defije szerint nincs is Klein-csoport, csak Klein-csoportok).

Vagy nem is összekeveri, hanem más értelemben (típus) használja, mint itt. Ez nem baj, az azonban igen, hogy ezzel a lépéssel kikerüli az egész megalapozását, és így a fogalom a "levegőben lóg" némileg. Bár alkot olyan kifejezéseket, mint "konkrét reprezentáció", ezt azonban meg kellene magyarázni. Egyszóval nem hibás az angol cikk sem, csak lehetne egy kicsit bőbeszédűbb. Gubb 2004. december 29., 12:28 (CET)

"Tulajdonképp – informális szemléletben – a predikátumok a normális köznyelven vagy a matematika nyelvein tett eldönthető kijelentések, a relációk pedig épp ezek halmazelméleti modelljei."

Istenkirály ez a szemlélet! :) Nagyon tetszik! Nem lenne szabad hagyni, hogy a matematikusok ne tanuljanak filozófiát. Közülük, csak nagyon kevesen értik, hogy mi is a struktúra és miben különbözik egy monadikus predikátum egy halmaztól. (Szomorú vagyok a felsőoktatás állapota miatt.)

Még azt is megkockáztatnám, hogy ez "Tulajdonképp – informális szemléletben –" nem kell. Az idézett mondat egyszerűen enélkül is igaz. Mozo 2005. augusztus 27., 20:15 (CEST)

Most ismét meg kell kérdeznem, amit DD-től: Biztos, hogy mi két külön személyiség (és internetelérés) vagyunk :-?. Egyébként nyugodtan változtass. Azért hagytam abba a cikket, mert kell hozzá a Bevezetés a struktúrák elméletébe c. könyv. Rájöttem, enélkül az Operátorstruktúrák c. fejezet nem írható meg színvonalasan. Sajnso azonban ez a könyv jelenleg semmilyen módon sem előkeríthetőnek tűnik számomra: nem kapható, és könyvtárba csak szept. 2. után tudok menni. Telitalálat Felügyelő 2005. augusztus 27., 21:04 (CEST)

Most kicsit elbizonytalanodtam, mert nekem is Szilágyi Tivadar volt az analízis tanárom - lásd: "Egy nem létező matematikai fogalom: a szűrjektív függvény." (sőt nála TDK-ztam), így egyfajta formális azonosság mutatkozik. De biztos van tettenérhető különbség köztünk, mert én a szövegközi képleteket nem szeretem T_EX-ben írni :) Mozo 2005. augusztus 27., 22:36 (CEST)

Akkor hát van valami különbség köztünk. Én aszinte mindent TEx-be írok, kivéve a cikkek bevezetőjét. Telitalálat Felügyelő 2005. augusztus 27., 22:41 (CEST)

Kombinatorika

A kombinatorika nem fogható fel a multihalmaz struktúrák vizsgálatának?

Nem tudonm, mi az a multihalmaz struktúra, de a nevéből ítélve, szerintem nem (a kombinatorikai struktúrák a legtöbb általános definíció alól kibújnak, a fene enné meg őket). : Gubb   ✍ 2005. december 24., 17:31 (CET)

Egy $f:U^{n}\mapsto U$ művelet nem inkább az ${U}^{\left(U^{n}\right)}$ halmaz eleme?

Illesztés

Hogyan illeszthető a matematikai struktúra általános definíciójához a vektortér? Közelebbről: hogyan illeszthető az "struktúra algebrai részéhez" a külső művelet?

Ez egy apró kozmetikai műtéttel egyszerűen lehetséges: Egy, az O operátortartomány feletti K:O×Aⁿ-->A külső művelet felfogható olyan O-n indexelt műveletrendszerként, hogy minden O-beli o indexhez tartozik egy Aⁿ-ban ható belső K_o:=f(o) művelet, úgy, hogy oKa1Ka2K...Kan := a1f(o)a2f(o)...f(o)an (elnézést, az a-k indexeit most nincs kedvem szubozni). Ezt egyébként Maurer explicite is írja a Bev. a struktúrák elméletébe c. könyvben, úgyhogy "szakirodalmi definíciónak" vehető. ♥♥♥ Gubb ✍ 2009. december 4., 14:14 (CET)

Sziasztok, nem tudom, hogy még olvassa-e valaki, de a következő megjegyzéseim vannak, amikkel valamelyest tisztába lehet tenni a fenti problémákat is:

1. Az univerzum vagy alapsokaság elemi szinten mindent tartalmaz, és nem is feltétlenül halmaz. Ha ez az alapsokaság homogén, akkor a struktúra is homogén, ha heterogén (pl. vektortér), akkor a struktúra is heterogén.

2. Az itt topológiának nevezett rész valójában halmazrendszereket, azaz - és ez itt a lényeg - tagsági függvények halmazait tartalmazza. Egy tagsági függvény az alapsokaság egy eleméről mondja meg, hogy "mennyire" tartozik bele a halmazrendszer valamelyik elemébe. A tagsági függvény lehet egy karakterisztikus függvény - ekkor tényleg a cikkben megadott "részhalmazok családjáról" beszélünk, de lehet fuzzy függvény vagy multiplicitás függvény is - így lefedjük a struktúrafogalommal a fuzzy halmazokat vagy multihalmazokat is.

A többi rész (relációk, algebrai műveletek v. függvények, illetve konstansok) sztem nagyjából OK.

Egyetlen kérdés marad nyitva: hogyan illeszthető a topológiával ellátott struktúrához ún. szignatúra? Mert az angolszász sztenderd struktúrafogalomból a topológia hiányzik, viszont egy erős szignatúrafogalommal tipizálják a struktúrákat, abba viszont a tagsági függvények nem férnek bele.

1. Ezzel nem értek egyet, halmaznak kell lennie, vagy pedig nem beszélhetünk matematikai struktúráról. Természetesen lehetséges a fogalom általánosítása osztályokra, kategóriákra vagy hasonló, a halmazelmélet kereteit meghaladó dolgokra, de erre az általánosabb fogalomra más nevet kell keresni, nem a struktúráét (valahol meg kell szabni a definíciós határokat, és a halmazokra építkezés egy meglehetősen rögzült és használhatónak bizonyult dolog). A másik mondat felvetése (a heterogén és homogén struktúrák megkülönböztetése) viszont érdekes és szimpatikus ötlet, én még soha nem találkoztam vele, és ezért nem is írtam a cikkbe, de ha van kedved és forrásod, akkor szerintem lenne helye a cikkben.
2. Szintén nem biztos, hogy a fuzzy struktúrákkal itt kellene foglalkozni, már amúgy is túl nagyra nő a cikk. Lehet, hogy a fuzzy matematikának megvan a saját struktúrafogalma, és azt lehetne a hagyományos struktúrafogalom általánosításaként tárgyalni egy külön cikkben. Bár én nem zárkózom el a közös cikktől sem, csak épp nem nagyon értek a fuzzy dolgokhoz, ezért nemigen tudok ezzel kapcsolatban mit mondani. Ha mindenképpen egyesíteni akarod a két témát, akkor az rád vár.
3. A topológiát semmiképp sem hagynám ki a struktúrafogalomból, de a szignatúrákat sem. Ha viszont a két dolog nem fér össze, akkor valószínűleg ágaztatott definíció lesz a dologból (azaz tárgyalni fog a cikk egy erősen szignatúrás struktúrafogalmat, meg egy anélkülit, megemlítve, hogy miért kell az egyik és miért a másik). Igazából e cikk, eredeti szándékai szerint, inkább a Bourbakiék által kitalált struktúrafogalmat akarta leírni (amely részben Filep Tudományok királynőjében, részben Maurer már sokat idézett könyvében szerepel), végül is az az eredeti, ez pedig a relációs-algebrai-topologikus struktúra (szent)háromsága. Ebbe a szignatúrák nem is nagyon férnek bele, viszont amikor a cikket írtam, akkoriban már rájöttem, hogy ez a fogalom is nagyon fontos, így aztán ezt is megemlítettem. Szvsz a szignatúrás struktúraféleség fogalomváltozatként tárgyalható. Az angol wikit pedig nem szeretem, most nem fejtem ki, hogy miért. ♥♥♥ Gubb ✍ 2009. december 4., 14:14 (CET)

---

Utánanéztem, és minden beilleszthető a szignatúra alá is!

Röviden az ellenvetéseidről:

1. Ez egy olyan sokaság, aminek az elemei egymástól megkülönböztethetők (egyértelműen azonosíthatók), és a modellben egységként kezeljük őket. Atomi elemeknek is lehetne nevezni. A sokaság mindössze ezeknek az elemeknek a gyűjteménye. Ha ragaszkodsz a halmazhoz, ám legyen. Lehet, hogy az osztály fogalom illene rá...

2. Azt hittem itt a matematikai struktúra általános fogalmát kellene megragadni. Ha a fuzzy struktúrák nem tartoznak a matematikához, persze kizárhatók, de akkor ez egy szűk struktúrafogalom lesz. Ha csak a Bourbaki iskola struktúrafogalmáról van szó, akkor érdemes lenne ezt rögtön az elején rögzíteni, de a cikk ennek ellenkezőjét sugallja, hiszen a struktúrafogalom fejlődését említi...

3. Belefér a topológia is, máris írom, hogyan:

Tehát az általános struktúrafogalom: (U, S, A) = univerzum, szignatúra, aritás

1. Az univerzum az előbb körvonalazott sokaság, vagy maradjunk annál, hogy elemek halmaza.

2. A szignatúra U-beli elemek és U^n->R leképezések halmaza.

3. Az aritás egy S->N függvény.

A szignatúra minden eleme vagy egy U-beli konstans, vagy egy U feletti halmazformát definiál, a következőképpen:

0 aritású szignatúra-elemek = U-beli konstansok

1 aritású szignatúra-elemek = U feletti halmazok, mégpedig

  - ha a leképezés képtere {0,1}, akkor klasszikus halmazok (indikátorfüggvény vagy karakterisztikus függvény)
  - ha a leképezés képtere [0,1], akkor fuzzy halmazok (tagsági függvény)
  - ha a leképezés képtere N, akkor multihalmazok (multiplicitás függvény)

n > 1 aritású szignatúra-elemek = relációk, műveletek vagy függvények

  - itt a klasszikus elméletnek megfelelően a szignatúra-elemek képtere {0,1}

Ez az eddigieket lefedő általános struktúrafogalom, és olyan kiterjesztési lehetőségeket tartalmaz, amihez még nincs interpretáció: mi van, ha pl. egy 1-aritású szignatúra-elem egy U-beli elemhez 2,5-et rendel, lehetséges egy halmazhoz 2,5-szeresen tartozni? A mai matematika szerint ez még nem igazán interpretálható.

Írok még durvábbakat: lehetséges egy halmazhoz -3-szorosan tartozni? Lehetséges egy halmazhoz -2+3i-szeresen tartozni? A mai elmélet szerint nem. De a fenti struktúra-modell ezt a fajta bővítést is lehetővé teszi.

Az U feletti halmazrendszerek (pl. topológiák) természetesen a fentiekhez illeszkedően a szignatúra 1 aritású elemeinek a halmazai lesznek.

Üdv: psmitt@gmail.com

---

OK, rövid válaszaim:

1. A cikknek nem célja, hogy egyszer s mindenkorra olyan (egyéni kutatáson alapuló) definíciót alkosson, amelybe minden elképzelhető, a múltban, a jelenben és jövőben vizsgált matematikai struktúra belefér. (A magam részéről kételkedem is benne, hogy ez lehetséges). A célja, hogy tárgyalja a szakirodalomban fellelhető, és tradicionálisan és gyakorlatilag megszokott definíciókat - esetleg egyéni jelölésmódszerrel (amennyiben ez szükséges, pl. az érthetőség vagy az egyszerűség kedvéért) vagy egyénileg összefoglalva, de lehetőleg ne egyéni fogalmakat alkotva (annak ellenére, hogy magánszemélyként az ilyen definíciók is érdekelnek). Mindez nem jelenti azt, hogy a Bourbaki-féle fogalom továbbfejlesztéseiről, változatairól ne lehetne írni, azonban szerencsésebb minden definícióváltozatot külön-külön említeni és forrásokkal ellátni, mintsem hogy mi magunk alkossuk meg a fogalmat. Vagyis az én szándékom az volt, hogy a fogalom fellelhető definícióit tárgyaljam, mintsem az, hogy olyan fogalmat alkossak, amibe minden definíció belefér (ha valaki, aki a WP szabályai szerint jelentősnek és szakértőnek minősül, alkot és publikál ilyen fogalmat, akkor persze állok elébe a cikkbe tevésének). Ez persze nem zárja ki azt, hogy a definíciókon mint példákon keresztül magának a fogalomnak a fejlődéséről és esetleg a fejlődés irányáról is, írjunk, de ezt lehetőleg óvatosan (megkülönböztetve a forrásokkal igazolható tényeket az ebből levont következtetésektől) .
2. Még ha az osztály fogalmát alkalmaznánk is, akkor sem tudnánk elérni, hogy egyszer s mindenkorra mindenféle struktúrát definiáljunk, hiszen vannak osztályok osztályai ("hiperosztályok"), amelyek maguk Russell híres tétele miatt nem osztályok, aztán vannak hiperosztályok osztályai (hiper-hiperosztályok) stb.; ezekre épülve pedig definiálhatóak az osztálystruktúrák, a hiperstruktúrák, a hiper-hiperstruktúrák stb. Lehetetlen ezt az "önmagát dinamikusan/potenciálisan generáló" sorozatot matematikailag precízen (önhivatkozás nélkül) egyetlen fogalomba sűríteni. Ezért jobb megmaradni a halmazoknál [meg aztán pl. a hiperstruktúrák "algebrai szerkezete" úgyis izomorf a halmazelméleti struktúrákéval, hiszen minden hiperstruktúrákról szóló mondatnak megvan a struktúraelméleti megfelelője is (a mondatban a "hiperosztály" szót mindenütt a "halmaz" szóra cseréljük, és viszont)]. Aztán lehetnek más tudományterületek is, amelyek struktúrafogalma, más okok miatt, nem fér a halmazelméleti keretek közé.
3. Az angol cikket elolvastam, és szerintem - az angol wikitől szokott módon - rosszul közelíti meg a problémát. A struktúrafogalom valamilyen informális leírását akarja adni, és a közérthetőség kedvéért kerüli a formulákat, de szerintem semmivel sem érthetőbb, mintha a struktúrát valamilyen szimbolikus elemötösként határoznám meg. Az olyan szóhasználat, mint hogy "egy struktúra olyan matematikai objektumokból áll, mint pl. a mérték vagy a rendezés", barátságosabb a szemnek, mint egy halmaz-n-es, de józan ésszel megkaparva a bennük lévő szavak értelmét, kiderül, hogy értelme semmivel sem kevésbé rejtélyes-mágikus, mint a zárójeles formulák. Ráadásul utóbiakkal ellentétben szakmaiatlan is annyiban, hogy nem matematikai, hanem teljességgel informális, de még ennek ellenére is akárhogy érthető fogalmakat használ ("áll valamiből", "matematikai objektum"). Szerintem alig valamivel visz közelebb a struktúra fogalmának lényegéhez, mint egy szavak nélküli intuitív elképzelés. Helyes törekvés, hogy a matematikai definíciókat közérthetőkké kell tenni, de helytelen ezt úgy megvalósítani, hogy közben lemondunk a matematikáról.
4. Bocsánat, hogy félreérthető voltam a fuzzyval kapcsolatban: természetesen ezek is a matematika részei, pusztán azt javasoltam, hogy a fuzzy struktúrákat ne nevezzük "(klasszikus) matematikai struktúráknak", hanem mondjuk "fuzzy struktúráknak", és - terjedelmi, történeti és didaktikai okok miatt - tárgyaljuk őket külön cikkben. Illetve, ha beilleszthetőek valahogy (gondolom, erre mutattál fent példát) a hagyományos struktúrafogalomba (mondjuk még egy halmazrendszer hozzávételével a már definiált halmaz-ötöshöz), akkor pedig ebben a cikkben, külön fejezetként. ♥♥♥ Gubb ✍ 2009. december 5., 14:42 (CET)

---

Én is csak röviden, mintegy zárásképpen:

1. Értékelem az óvatosságodat és a konzervativizmusodat. Ebből a szemszögből igazából nincs is értelme vitalapnak, hiszen a kanonizált elmélet felett minek vitatkozni.

2. Szerintem is az a legegyszerűbb, ha a halmazoknál maradunk, ez elejét veszi az általad is említett paradoxonoknak. Szerencsére a fentebb leírtak a halmazokra - fuzzykra és multikra is - állnak.

3. Az angol Wiki-cikkben sajnos nem mélyültem el (más forrásokból tájékozódtam a szignatúra felől), ezért nem tudom sem osztani, sem opponálni a véleményed.

4. Amint fentebb említettem: az én célom egy átfogó struktúrafogalom definiálása volt. Ezt megtettem. Továbbra is tartom azt a véleményem, hogy ha egy szűkebb (történeti, elméleti, kanonikus) struktúrafogalomról írsz cikket, akkor ezt valahogy már a cikkszóban érdemes lenne jelezni, teret hagyva az általánosabb fogalom számára.

5. Ötletet és/vagy megoldást szerettem volna mutatni azokra az elméleti problémákra, amelyek a vitalap tetején megfogalmazódtak. Azt nem tudtam, hogy a Wiki tkp. csak az offline irodalom summázata, ezért elnézésedet kérem.

Üdv: psmitt

Tényleg csak segítségképpen: WP:SAJÁT. Én azt se tudom, hogy az, vagy nem az. --Bean49 ^vita 2009. december 5., 17:32 (CET)