Vita:Határérték

Ez a szócikk témája miatt a matematikai műhely érdeklődési körébe tartozik.
Bátran kapcsolódj be a szerkesztésébe! Besorolatlan Ezt a szócikket még nem sorolták be a kidolgozottsági skálán. Nem értékelt Ezt a szócikket még nem értékelték a műhely fontossági skáláján. Értékelő szerkesztő: ismeretlen

Formális definíció és még formálisabb (idézet: pontosabb formális definíciót konvergens sorozatoknál találunk) :) Persze a definíció formális, de had kötöszködjek ontológiai megfontolásokból. Az a baj, hogy a határértéknek (a függvénnyel ellentétben) nincs nemformális definíciója. Amit határértéknek nevezünk, azt az epszilon-deltás definíció teszi értelemmel bíróvá. A függvénynél például értelmes, az, hogy minden ikszhez egyetlen ipszilont rendel. A rendezett párokkal történő definíció csak modell és olyan extra tulajdonságokat eredményez, melyeket nem veszünk komolyan (például: (x,f(x)) ∈ f). A határértéknél viszont minden egyes részletet komolyan vesszünk, ellenkező esetben nagy bajba kerülne az analízis. Mozo 2006. október 21., 00:41 (CEST)

Ennek semmi értelme. Minden definíció ugyanannyira szükséges. A definíció dolga, hogy egyértelművé tegye, hogy mire gondolsz amikor ezt a fogalmat használod. Hogy ezt ilyen kriksz-krakszokkal oldja meg, mint a határérték szokványos definíciója, vagy egy szép körmondattal, vagy rajzzal, az mindegy. A lényeg, hogy legyen egyértelmű. Az meg, hogy mi egyértelmű, emberfüggő. A határérték is szemléletes fogalom. Ugyanúgy lehet érezni a jelentését, mint a "függvény" definíciójánál. A definíció nem eredményez extra tulajdonságokat... Pont azt eredményezi, amit kimond. Vagy ha igen, akkor meg a határérték is ilyen hülye extra dolgokat eredményez, mint hogy "N(epszilon)" meg "delta(epszilon)". Az sem igazán értelmezhető, hogy mit értesz azon, hogy nem veszed komolyan, hogy (x,f(x)) ∈ f. A határérték nemformális definíciója: A függvény határértéke egy adott pontban azt a számot jelenti, amihez tetszőlegesen közel kerül a függvényérték, hogyha a függvény argumentuma elég közel van az adott ponthoz.

(Azt mondod: A függvény minden ikszhez egyetlen ipszilont rendel. Mit rendel az 1/x függvény az x=0-hoz?)

U.i. "A rendezett párokkal történő definíció csak modell" - Az egész matematika csak "modell".Qorilla ^vita 2008. november 15., 23:16 (CET)

Nagyon örülök a hozzászólásodnak! Ezek a kérdések fontosak a matematika természetének megértése szempontjából.

„A definíció dolga, hogy egyértelművé tegye, hogy mire gondolsz amikor ezt a fogalmat használod.”

Természetesen a fogalmakat szabatosan kell megdani. Ennek a mikéntjével és problémáival a jó definíció megszerkesztésének tudománya foglalkozik (lásd: Eszes Boldizsár, A definíció). A szándékunk az, hogy úgy fogalmazzuk meg a gondolatainkat, hogy azok megfeleljenek valamiféle egyértelműségi követelménynek. Ez elvi problémákba ütközik. A gondolat és a nyelv kapcsolatának problémája elég kemény dió. Bárkinek joga van azt állítani, hogy: "Én nem így képzeltem a rendet!".

"Hogy ezt ilyen kriksz-krakszokkal oldja meg, mint a határérték szokványos definíciója, vagy egy szép körmondattal, vagy rajzzal, az mindegy."

Első közelítésben igen, mindegy. Másfelől azonban a "kriksz-krakszok" meg van a maguk feladata a metametikában. A természetes nyelvi kifejezések nem vizsgálhatók anélkül, hogy a nyelvegészét ne kellene vizsgálni. A formális kifejezések vizsgálatakor a nyelv jól behatárolt töredékét kell csak tekinteni, így az már tudományosan vizsgálható (rekonstruálhatók a kíséletek, meghatározottak a módszerek). Például ha a "bizonyításra" mint a mindennapi matematikai gyakorlatban művelt eljárásra gondolunk (ez képezi az intuiciónk alapját), akkor nyilvánvaló a következő: A bizonyításának léte bizonyítja, hogy nem A bizonyíthatatlan. Ezt azért tudjuk, mert egy konkrét számolás kapcsán a kutya se foglalkozik azzal, hogy mondjuk a differenciáható sokaságok elmélete konzisztens-e. Meggyőződésünk, hogy a matematika konzisztens, mert létezik. Ellenben a formálisan definiált "bizonyítás" fogalom természetesen nem teljesíti ezt a fenti elvet, hisz Gödel szerint konzisztens elméletben nem igaz, hogy minden kijelentés vagy bizonyítható, vagy cáfolható. Tehát, a formális definíció tud nagyon mást kifejezni, mint a nem formális.

"A határérték is szemléletes fogalom. Ugyanúgy lehet érezni a jelentését, mint a "függvény" definíciójánál. A definíció nem eredményez extra tulajdonságot..."

A határértéket tételek tudnak intuíció és kontraintuitívak lenni. Ez attól függ, hogy miből táplálkozik az intuíciónk. Ha a határérték definíciójából, akkor minden tétel intuitív és nincsenek nem kívánt járulákos tulajdonságok. Ha például a folytonosságra vonatkozó intuíció az ε-δ-s definíción alapul, akkor az f(x)=xsin(1/x),f(0)=0 folytonos függvény. Ha abból a szándékból, hogy a ceruza felelmelése nélkül le lehet rajzolni, akkor ennek folytonossága kontraintuitív. Egy másik példa. Ha a deriváltra vonatkozó intuíció a sebességből mint motivációból származik, akkor az, hogy az f(x)=x^2, ha x racionális és f(x)=x^4, ha x irracionális függvény esetén is értelmes az a tétel, hogy mivel 0-ban minimum van, ezért a derivált nulla, szóval ez igaz, de kontraintuitív: mi köze f-nek a sebességhez, ha csak egyetlen pontban diff.ható? Harmadik példa, ez Paul Halmosé (P. Halmos: Halmazelmélet). Az, hogy 1 ∈ 2 egy "patologikus", beteges tulajdonsága a halmazelméletben definiált 1-nek és 2-nek, mert senki sem gondolja, hogy az 1 eleme a 2-nek.

"A határérték nemformális definíciója: A függvény határértéke egy adott pontban azt a számot jelenti, amihez tetszőlegesen közel kerül a függvényérték, hogyha a függvény argumentuma elég közel van az adott ponthoz."

Ez egy posztformális definíció. A formális definíciót fogalmazza meg szavakban. Gyakorlatilag csak az érti, aki tudja hogy fordítható le formulákra. Kérj meg egy nemmatematikus ismerősödet, hogy a függvénykompozíció határértékére vonatkozó tételt bizonyítsa be úgy, hogy a te definíciódat definíciót alkalmazza! Ez azért van, mert a formális definíció egyértelműen meghatározza a te nemformálisodat, de a fordítva a fene se tudja, hogy kell formulákba önteni. Az, hogy te tudni véled, azért van, mert már nem vagy szűz: tudod hogy kell epszilonozni. Én a preformális definíciókat is számontartok. Magyarán azt fejezi-e ki a formális definíciónk, amit kifejezni szándékoztunk?

"A függvény minden ikszhez egyetlen ipszilont rendel. Mit rendel az 1/x függvény az x=0-hoz?"

Az "x eleme Dom (f)" kitételt olyan esetekben kell elővenni, amikor a tárgyalás szempontjából döntő szerepe van. Például a folytonosság definíciójában. Egyébként gúzsba kötnek a feltételek. De könnyen kiköszörülhetjük a csorbát: a függvény x-e egyértelműen határozza meg az y-t. Kell ennél több? :)

"A rendezett párokkal történő definíció csak modell" - Az egész matematika csak "modell"

Ez természetesen nem érv, ezzel azt akarod mondani, hogy nem kívánsz erről többet vitázni, nem érdekelnek az érveid, ez olyan punktum. Ráadásul az egész matematika nem modell. Mozo ^vita 2008. november 18., 11:26 (CET)

Modell. Ha szerinted nem akkor szerintem eltévesztetted a házszámot. A valósággal és egyéb ilyesmivel a Fizika, Metafizika, Filozófia művelői foglalkoznak. A matematika csupán odafigyelve összeállított okoskodások összessége.

Szerintem nincs értelme megkülönböztetni, hogy melyik definíciónál mennyire fontos, hogy pontos legyen. Értem, hogy mire gondolsz az "extra" dolgokkal, azaz ilyen járulékos dolgok, amik a definíció könnyebb megfogalmazását segítik. De lényegében a határérték (és minden más) a definíciója után függetlenedik a definíció konkrét szavaitól. Mint amikor kiszámolod, hogy 3+2=5, akkor utána az 5-ből már nem tudod, hogy azt korábban melyik 2 szám összegeként számoltad ki. Tehát ha nem epszilondeltázol, hanem például konvergens sorozatokkal definiálod a függvényhatárértéket (igen akkor is kell epszilon, de delta nem), attól még a kapott fogalom "ugyanaz". Matematikásan mondva a két definíció ekvivalens.

Persze azon lehet szöszmötölni, hogy melyik fogalmat melyik fogalommal milyen sorrendben definiáljuk, hogy ne csomózzuk teljesen össze ezt a nagy definíciós láncolatmadzagot (tehát jussunk ki az alapfogalmakig az bármelyik definíciós láncot követve). De ez a dolog csak az elmélet megalkotásakor lényeges. Ezért lehet, hogy néhány tankönyv nem ugyanolyan sorrendben, nem ugyanazokkal a szavakkal definiálja a fogalmakat, de végül mégis tulajdonképpen "ugyanazt" kapja. Ha mindent alapfogalmakból definiálnánk akkor persze ilyen gond nem lenne, de abban se mindenki egyezne meg, hogy mi legyen alapfogalom. És lehet, hogy mégis ugyanúgy tudnának határértéket számolni, mert mondjuk a különbség ebbe nem szólna bele. Tehát az előbb említett a szempontól fontos lehet, hogy konkrétan milyen szavakkal is definiáljuk a határértéket. De utána, amikor van egy működő rendszerünk, akkor már mindegy, hogy az eredeti definíciót vagy egy vele ekvivalens szöveget veszünk-e figyelembe újabb definíciókhoz vagy feladatmegoldásokhoz. A függvény meg a határérték egyébként is elég különböző stílusú fogalmak, nem igazán érdemes összehasonlítani a definíciójukat. A határérték valaminek a jellemzőjét írja le. Nem lehet azt mondani, hogy nesze ez itt a határérték. Függvénynél sokkal inkább. De ez megintcsak szubjektív dolog, a végleges elkészült matematikai rendszer pedig objektív. (Az persze szubjektív, hogy milyen fogalmakat vezetek be stb). A függvény minden dologhoz vagy nem rendel semmit, vagy egy dolgot rendel. Ez a definíció miután bemászik az agyunkba és értelmezzük, ugyanúgy fog működni mint a rendezett páros. Egyébként én ugyanannyira tudom lerajzolni a sin(1/x)-et mint a sin(x)-et. Ha arra gondolsz, hogy a 0 környékén megbolondul a függvény, és emiatt nem tudnám lerajzolni akkor ugyanúgy a sin(x) se rajzolható le, hiszen sose érsz a végére. Ugyanígy a sin(1/x) is lerajzolható tetszőlegesen nagy részben, persze ha valakinek van erre ideje. Qorilla ^vita 2008. november 18., 21:15 (CET)

Az intuíció tévedhet:

Például a példában említett sorozat következő értéke lehet 1,3, 1,48, 194, 4897, vagy 1,79999. Alfa-ketosav ^vita 2018. december 7., 18:29 (CET)

Ha ismert a képzési szabály, akkor nem lehet tetszőleges szám a következő elem. Szalakóta ^vita 2018. december 7., 20:56 (CET)

Bővítés 2020.01.14

Sziasztok!

Egy újabb szócikket bővítettem terjedelmesebbé, ebben az esetben is saját tudás alapján. Továbbá az eredeti cikken( a mostani első két fejezete) nem igen változtattam, csak formai átalakításokon ment keresztül. Kérlek szépen nézzétek át, s mondjátok ha formai/elméleti hibát találtok :) Természetesen lehetne még mit írni: végtelen határérték stb. de elfogyott a lendületem, így ennyivel járultam most hozzá.

Na jó, kiegészítettem a végtelenben vett és végtelen határértékkel. :)

Most vettem észre, hogy más is dolgozott rajta csak nem fejezte be: Szerkesztő:Qorilla/Határérték Pont jó, mert ő azokat a részeket dolgozta ki, amiket én nem.

Köszönettel: TID95 ^vita 2020. január 14., 21:08 (CET)