Vita:Összeadás (egyértelműsítő lap)

Ez a szócikk témája miatt a matematikai műhely érdeklődési körébe tartozik.
Bátran kapcsolódj be a szerkesztésébe! Besorolatlan Ezt a szócikket még nem sorolták be a kidolgozottsági skálán. Nem értékelt Ezt a szócikket még nem értékelték a műhely fontossági skáláján. Értékelő szerkesztő: ismeretlen

Kezdetek

A cikket az angol cikk alapján szerkesztem. Szalakóta ^vita 2009. április 19., 19:57 (CEST)

Elkerülendő például az effajta rizsát - amely nektek és nekem is jobb, nekem, mert nem kell írnom és szétcsesznem vele a cikket, nektek, mert nem kell olvasnotok - javaslom az "összeadás" címszó egyértelműsítő lappá alakítását (azaz szérdarabolását kisebb cikkekké). Szerintem ez a legjobb megoldás. Túlzással ugyanis azt mondhatnám, matematikailag nincs olyan, hogy "összeadás" (így, mindenfajta értelmező jelző nélkül ez egy nem létező fogalom), csak természetes számok meg valós számok stb. stb. összeadása. vélemények? ♥♥♥ Gubb ✍ 2009. augusztus 11., 15:52 (CEST)

Ha nem lesznek túl kicsik a cikkek, akkor lehet darabolni. (Emlékszem, tavaly írtam két 2 Kbájtos cikket, és össze akarták vonni őket.) Szalakóta ^vita 2009. augusztus 11., 16:10 (CEST)

Nem, a legtöbb alműveletről külön-külön is egész regényt lehet írni (kivétel talán az egész számok összeadása) - ez persze nem garancia arra, hogy lesz időm és kedvem megírni mindet. ♥♥♥ Gubb ✍ 2009. augusztus 11., 16:22 (CEST)

---

Meg ezeket is mindjárt bedolgozom: ♥♥♥ Gubb ✍ 2009. augusztus 11., 18:06 (CEST)

Ábrázolása

Az összeadásnak többféle fizikai modellje is van még a természetes számok körében is.

Halmazok egyesítése

Az összeadás reprezentálható halmazok egyesítésével:

• Ha két diszjunkt halmazt egyesítünk, akkor az unió elemszáma a két halmaz elemszámának összege.

Ez az ábrázolás könnyen láttatható, és nehezen érthető félre. A magasabb matematikában is megjelenik. Nem világos viszont, hogy hogyan lehet az így definiált összeadást kiterjeszteni a negatív számokra és a törtekre.

Az egyik lehetséges megközelítés szerint könnyen osztható tárgyakat kell venni, például süteményeket, vagy felosztott rudakat. Ezeket egymáshoz lehet csatolni, ami átvezet egy másik ábrázoláshoz: a hosszak összeadásához.

Hosszúságok

• Ha egy hosszúságot egy adott hosszal megnövelünk, akkor az össesített hossz a két hossz összege lesz.

Az a+b összeadás két változós műveletként értelmezhető, ami összeteszi a-t és b-t, vagy b egységet tesz hozzá a-hoz.

Ebben az ábrázolásban jól lehet szemléltetni a törteket, de a kommutativitás nem nyilvánvaló, hiszen a és b szerepe eltér.

Hasonlóan lehet szemléltetni a kivonást, mert minden +b unáris összeadásnak van egy unáris kivonás megfordítása.

Különböző számkörök

Az összeadás kiterjeszthető a természetes számokat tartalmazó halmazokra: az egész számokra, a racionális számokra, a valós számokra, és még tovább.

Egész számok

Az egész számokat a legegyszerűbben úgy lehet elképzelni, mint egy előjellel ellátott természetes szám. A nulla külön eset, mert nem pozitív, és nem negatív. Eszerint az összeadás a következőképpen definiálható:

• Ha az egyik összeadandó nulla, akkor az összeg a másik összeadandóval egyenlő.
• Ha a két összeadandó azonos előjelű, akkor az összeg előjele a két összeadandó közös előjele, abszolútértéke az összeadandók abszolútértékének összege
• Ha a két összeadandó különböző előjelű, akkor az összeg előjele megegyezik a nagyobb abszolútértékű összeadandó előjelével, abszolútértéke a két összeadnadó abszolútértéke közötti távolság.

Bár egyes esetekben hasznosnak bizonyulhat ez a definíció, nehéz belőle következtetni. Ezért inkább természetes számok különbségének tekintik az egész számokat, és így definiálják:

Adva legyenek az a − b és a c − d egész számok, ahol a, b, c, és d természetes számok. Ekkor legyen (a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d).

Racionális számok

A racionális számok összeadhatók a legkisebb közös többszörös felhasználásával, de a legegyszerűbb definíció csak egész összeadást és szorzást használ:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.$

A kommutatív és az asszociatív tulajdonságok az egész számok aritmetikájából következek.

Valós számok

A valós számok egy konstrukciója a valós számok teljessé tétele. Legyen a két valós szám a és b. Legyenek továbbá a_n, b_n olyan sorozatok, amik a-hoz és b-hez tartanak. Ekkor legyen $a+b=\lim(a_{n}+b_{n}).$

Ezt a módszert először Georg Cantor publikálta 1872-ben.

A valós számok felfoghatók a racionálisok Dedekind-szeleteként. Ezek a Dedekin-szeletek azokból a racionális számokból állnak, amik kisebbek, mint az adott racionális szám. Ebben a felfogásban két valós szám összege:

$a+b=\{q+r\mid q\in a,r\in b\}.$

Ez a definíció először Richard Dedekindnél jelent meg 1872-ben.

A Dedekind-szeletekkel egyszerűen adódnak a valós számok összeadásának tulajdonságai. Ez a definíció azonban sokszor esetszétválasztáshoz vezet.

A határértékes konstrukcióban először Cauchy-sorozatokkal kell bizonyítani, hogy ez egy jóldefiniált művelet. Ezt követően minden következik a racionális számok összeadásának tulajdonságaiból. Sőt, más műveletek is hasonlóan definiálhatók.

Absztrakt algebra

A lineáris algebrában a vektorterek olyan algebrai struktúrák, amik zártak a vektorok összeadására és a skalárral való szorzásra. Például a két dimenziós valós vektortérben az (a,b) pontot vektorként értelmezik, ami az origóból indul ki. Magyarul a pontba mutató helyvektorként tekintenek rá. Két vektort úgy adunk össze, hogy a megfelelő koordinátáikat összeadjuk:

(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d).

Ez a művelet nagyon fontos a klasszikus mechanikában, ahol a vektorok erőket reprezentálnak.

A moduláris algebrában az egészeket modulo m tekintjük. Ez azt jelenti, hogy az egész számok helyett a megfelelő maradékosztályokat vesszük, és az egész számok maradékával számolunk. Ez a maradékosztálygyűrűt adja.

• A zene matematikai elméletében fontos a 12 elemű mod 12 maradékosztálygyűrű, ahol az egyes elemek a zenei hangoknak felelnek meg.
• A modulo 2 maradékosztályok gyűrűjében (testében) az összeadás a Boole-algebrában a kizáró vagynak felel meg.
• A geometriában két szög mértékének összegét úgy is tekintik, mint a valós számok összegét modulo 2π. Ez megfeleltethető a körön végzett összeadásnak, ami tovább általánosítható több dimenziós tóruszokra.

Az absztrakt algebrában általában felteszik, hogy az összeadás kommutatív és asszociatív egy halmazon. Az alapvető algebrai struktúrák közül ilyenek például az Abel-csoportok, a kommutatív monoidok és a testek.

Halmazelmélet

A természetes számok összeadásának általánosításai a számosságok és a rendszámok összeadása. Ezek transzfinit általánosítások, azaz végtelen nagy mennyiségekre terjesztik ki az összeadást. A számosságok összeadása kommutatív, a rendszámok összeadása nem.

Lásd még

• összegzés
• osztás

Források

Elemi matematika

• Davison, Landau, McCracken, and Thompson (1999). Mathematics: Explorations & Applications (TE ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-435817-1.
• F. Sparks and C. Rees (1979). A survey of basic mathematics. McGraw-Hill. ISBN 0-07-059902-5.

Education

• Begle, Edward (1975). The mathematics of the elementary school. McGraw-Hill. ISBN 0-07-004325-6.

California State Board of Education mathematics content standards Adopted December 1997, accessed December 2005.

• D. Devine, J. Olson, and M. Olson (1991). Elementary mathematics for teachers (2e ed.). Wiley. ISBN 0-471-85947-8.

National Research Council (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. National Academy Press. ISBN 0-309-06995-5. http://www.nap.edu/books/0309069955/html/index.html.

• Van de Walle, John (2004). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally (5e ed.). Pearson. ISBN 0-205-38689-X.

Kognitív tudományok

• Baroody and Tiilikainen (2003). "Two perspectives on addition development". The development of arithmetic concepts and skills: 75. ISBN 0-8058-3155-X.
• Fosnot and Dolk (2001). Young mathematicians at work: Constructing number sense, addition, and subtraction. Heinemann. ISBN 0-325-00353-X.
• Weaver, J. Fred (1982). "Interpretations of number operations and symbolic representations of addition and subtraction". Addition and subtraction: A cognitive perspective: 60. ISBN 0-89859-171-6.
• Wynn, Karen (1998). "Numerical competence in infants". The development of mathematical skills: 3. ISBN 0-86377-816-X.

Mathematical exposition

• Bogomolny, Alexander (1996). "Addition". Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org). http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml. Retrieved on 3 February 2006.

Dunham, William (1994). The mathematical universe. Wiley. ISBN 0-471-53656-3.

• Johnson, Paul (1975). From sticks and stones: Personal adventures in mathematics. Science Research Associates. ISBN 0-574-19115-1.

Linderholm, Carl (1971). Mathematics made difficult. Wolfe. ISBN 0-7234-0415-1.

• Smith, Frank (2002). The glass wall: Why mathematics can seem difficult. Teachers College Press. ISBN 0-8077-4242-2.

Smith, Karl (1980). The nature of modern mathematics (3e ed.). Wadsworth. ISBN 0-8185-0352-1.

Felsőbb matematika

• Bergman, George (2005). An invitation to general algebra and universal constructions (2.3e ed.). General Printing. ISBN 0-9655211-4-1. http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html.
• Burrill, Claude (1967). Foundations of real numbers. McGraw-Hill. LCC QA248.B95.
• D. Dummit and R. Foote (1999). Abstract algebra (2e ed.). Wiley. ISBN 0-471-36857-1.
• Enderton, Herbert (1977). Elements of set theory. Academic Press. ISBN 0-12-238440-7.
• Lee, John (2003). Introduction to smooth manifolds. Springer. ISBN 0-387-95448-1.
• Martin, John (2003). Introduction to languages and the theory of computation (3e ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-232200-4.
• Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis (3e ed.). *McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
• Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (4e ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2.

Matematikai kutatások

• Akian, Bapat, and Gaubert (2005). "Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem". INRIA reports. http://arxiv.org/abs/math.SP/0402090.
• J. Baez and J. Dolan (2001). "From Finite Sets to Feynman Diagrams". Mathematics Unlimited— 2001 and Beyond: 29. ISBN 3-540-66913-2.
• Litvinov, Maslov, and Sobolevskii (1999). Idempotent mathematics and interval analysis. Reliable Computing, Kluwer.
• Loday, Jean-Louis (2002). "Arithmetree". J. Of Algebra 258: 275. doi:10.1016/S0021-8693(02)00510-0. http://arxiv.org/abs/math/0112034.
• Mikhalkin, Grigory (2006). "Tropical Geometry and its applications". To appear at the Madrid ICM. http://arxiv.org/abs/math.AG/0601041.

Viro, Oleg (2000). Dequantization of real algebraic geometry on logarithmic paper. (HTML) Plenary talk at 3rd ECM, Barcelona. Computing

• M. Flynn and S. Oberman (2001). Advanced computer arithmetic design. Wiley. ISBN 0-471-41209-0.
• P. Horowitz and W. Hill (2001). The art of electronics (2e ed.). Cambridge UP. ISBN 0-521-37095-7.
• Jackson, Albert (1960). Analog computation. McGraw-Hill. LCC QA76.4 J3.
• T. Truitt and A. Rogers (1960). Basics of analog computers. John F. Rider. LCC QA76.4 T7.

Miféle egyértelműsítés?

Mi a különbség a valós számok összeadása és a természetes számok összeadása között? – Bean49 ^vita 2011. október 3., 00:51 (CEST)

A törlési megbeszélés eredménye

Wikipédia:Törlésre javasolt lapok/Összeadás (egyértelműsítő lap)

Ezzel meg is nyitom a témát, hogy maradjon-e a lap a jelenlegi alakjában. Ahogy ott is leírtam, szerintem vissza kellene alakítani szócikké. Az olvasó ne azt lássa, hogy amit ő eddig egy dolognak hitt, az húsz olyan dolog, aminek a felét nem is érti, és nincsenek is megírva a szócikkek. Ez nem informatív. Le lehet írni, hogy az összeadás sok mindenfélét jelenthet, és nincs egy konkrét definíciója, de olyan többváltozós műveleteket szoktunk összeadásnak nevezni, amelyek asszociatívak, kommutatívak, és rendelkeznek nullelemmel. És még egy-két alapdolgot. A jelenlegi tartalom pedig maradhatna a cikk alján lásd még rovatként. Bináris ^ide Kelt: Wikipédia,  2019. január 10., 11:43 (CET)

Szerintem teljesen nyilvánvaló, hogy cikké kellene alakítani (akár egy rövid, összefoglaló cikké), hiszen aki az összeadásról próbál ismeretet szerezni lehetőleg gyorsan, de felületesen, annak a jelenlegi formájában közel használhatatlan a magyar wiki e célra. Véleményem szerint úgy kell kialakítani a struktúrát, hogy mind a felületes érdeklődők, mind a mélyre ásók megtalálják a számításukat, és emellett pedig normálisan linkelni is lehessen az összeadás fogalmára. Ez csak úgy valósítható meg, ha cikké alakul az Összeadás egyértelműsítő lap, miközben az oldalon meg lesznek említve és be lesznek linkelve az egyes összeadástípusokhoz bővebb anyagot nyújtó lapok. Így jól jár a kecske és a káposzta is. De ha elnéztem valamit, és lenne ennek a megoldásnak valami hátulütője, akkor kérem írjátok meg. Assaiki ^vita 2020. június 14., 12:31 (CEST)