Variogram

A variogram a geostatisztika kulcsfontosságú fogalma, mivel ezzel a függvénnyel illeszthető a területi korreláció valamilyen modellje a megfigyelt adatokhoz. A geostatisztikában a megfigyelések, mérések térbeli vagy időbeli összefüggéseinek leírására három alapvető függvényt használnak a korrelogramot a kovarianciát és a variogramot.

Meg kell különböztetni a tapasztalati variogramot, ez a területi korreláció vizualizációjára szolgál, és a variogram modellt amelyet a krigelésnél mint súlyozást használunk. A tapasztalati variogram egy normális eloszlás kovarianciájának kísérleti becslése.

Definíciók

A variogram egy statisztikai függvény második momentuma, amit a geo- és térstatisztikában a térbeli korrelációk vizsgálatára használnak.

Egy térbeli változó $Z(x)$, mint sztochasztikus folyamat variogramja (illetve a félvariogramja) $2\gamma (x,x+h)$ a $\mathbf {h}$ vektor mentén két $x$ és $x+h$, pontban mint a „változók értékeinek különbségének a szórásnégyzete” határozható meg.

$\gamma (x,x+h)={\frac {1}{2}}{\text{var}}[Z(x)-Z(x+h)]={\frac {1}{2}}E\left[|(Z(x)-\mu (x))-(Z(x+h)-\mu (x+h))|^{2}\right].$

Ha elfogadjuk azt a hipotézist, hogy $Z(x)$ gyöngén stacionárius, a diszperzió és az átlagnövekmény $Z(x+h)-Z(x)$ létezik és független az $x$ pontok elhelyezkedésétől

$\gamma (x,x+h)={\frac {1}{2}}E\left[(Z(x)-(Z(x+h))^{2}\right]=\gamma (h).$

$E\left[Z(x)-Z(x+h)\right]=0$

Ha a függvény elér egy tetőt az árulkodik egy térbeli heterogenitás félvariogramjának a szórásáról, azaz van-e véges szórás vagy nincs. Ha elérik a tetőt, akkor van véges szórás. Ezeket a variogram modelleket nevezzük sill variogramoknak.

Röghatás modell

A röghatás modell annak az esetnek felel meg amikor nincs korreláció a különböző mérési helyeknek megfelelő valószínűségi változók között.

$\gamma (h)=0$, ha $h=0$

$\gamma (h)=C$, ha $h>0$

Szferikus modell

Egy olyan variogram modell, amely szigorúan monoton növekvő felszálló ággal rendelkezik, aztán gyorsan beáll a hatástávolság vízszintes vonalára. A sill két részből áll, egyrészt a röghatásból, másrészt a röghatás és a C érték közötti részből.

$\gamma (h)=C(3/2*h/a-1/2*h^{3}/a^{3})$, ha $h<=a$

$\gamma (h)=C$, ha $h>a$

Exponenciális modell

Ez a leggyakrabban használt variogram. Két paraméterrel írható le: a hatástávolsággal és a sill-lel. A hatástávolság $a$, az a távolság, amely elválasztja a korrelált és korrelálatlan valószínűségi változókat. Ez a modell aszimptotikusan simul a tetőértékhez.

$\gamma (h)=C(1-e^{-h/a})$

Gaussi modell

Ez a variogram szintén két paraméterrel írható le. A sill: $C$ ismét egyenlő $C(0)$ -al a valószínűségi változó szórásnégyzetével. Az a paraméter szintén a hatástávolságot határozza meg. A valós hatástávolság: ${\sqrt {3}}a$

$\gamma (h)=C(1-e^{-h^{2}/a^{2}})$

Tapasztalati variogram

$V(u)=E\left[1/2(x_{i}-x_{(i-u)})^{2}\right]$

egy kedvező alternatívája az autokovariancia függvénynek különösen abban az esetben, ha ha a megfigyelésekre irreguláris időpontokban került sor.

A tapasztalati variogram azoknak a véges számú mérési pontoknak $n_{i}$ a halmaza

$(u_{ijk},v_{ijk}):k>j:i=1,...,m$ ahol

$u_{ijk}=|t_{ij}-t_{ik}|$ és $v_{ijk}=1/2(y_{ij}-y_{ik})^{2};t_{ij},i=1,...,n_{i}$

az $n_{i}$ az az érték amit az $i$ -ik megfigyelés során kaptunk $y_{(}ij)$ -től kezdve.

Az $(u_{ijk},v_{ijk})$ pontokat ábrázoló kétdimenziós diagramot variogram felhőnek nevezik. ennek segítségével megjósolható a $V(u)$ parametrikus modell.

Egy tapasztalati variogram nagyon érzékeny a szélsőséges értékekre, ebből következik, hogy jó minőségű becsléshez több vektorra van szükség. Általában az elfogadható becsléshez 30 vagy annál több párra van szükség.

Források

• Bárdossy, András. Introduction to Geostatistics (angol nyelven). Stuttgart: Institute of Hydraulic Engineering University of Stuttgart 
• Clark, Isobel: Practical Geostatistics,. Applied Science Publishers, 1979. (Hozzáférés: 2013. május 19.)
• A geostatisztika tárgya, feladata. Science Caffe. [2012. június 6-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. május 17.)
• Демьянов, В.. Геостатистика: теория и практика [archivált változat] (orosz nyelven). Moszkva: Наука [2010]. Hozzáférés ideje: 2013. május 19. [archiválás ideje: 2014. december 27.]