Kezdeti σ-algebra

A kezdeti σ-algebra a matematikában a mértékelmélet egy fogalma. Arra használják, hogy σ-algebrát hozzanak létre olyan tereken, amelyeken eredetileg nem volt struktúra. Speciális esetei a nyom-σ-algebra és a szorzat-σ-algebra. Szorosan összetartozik a kezdeti topológiával. Ez a legnagyobb σ-algebra, ahol függvények egy halmaza mérhető. Nevezik úgy is, mint függvények által generált σ-algebra, így a valószínűségi változók által generált σ-algebrák is kezdeti σ-algebrák. A generált algebra megnevezés nem egyértelmű, mivel halmazrendszerekkel is generálható σ-algebra.

Definíció

Adva legyenek az $f_{i}\colon \Omega \to \Omega _{i}$ leképezések, és mértékterek egy $(\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})$ családja egy nemüres $I$ indexhalmazzal. Ekkor az

${\mathcal {I}}(f_{i},\,i\in I):=\sigma \left(\bigcup _{i\in I}f_{i}^{-1}({\mathcal {A}}_{i})\right)$

σ-algebra $\Omega$-n az $(f_{i})_{i\in I}$ leképezések kezdeti σ-algebrája, vagy az $(f_{i})_{i\in I}$ által generált σ-algebra.

Példák

• Legyen $f\colon \Omega \to \Omega '$ leképezés, ahol $(\Omega ',{\mathcal {A}}')$ mértéktér, ekkor $f^{-1}({\mathcal {A}}')$ σ-algebra, és ${\mathcal {I}}(f)=f^{-1}({\mathcal {A}}')$. Ha például $f$ konstans függvény, akkor ${\mathcal {I}}(f)$ az $\{\emptyset ,\Omega \}$ triviális σ-algebra. Az $A\subset \Omega$ részhalmaz $\chi _{A}$ indikátorfüggvénye esetén ${\mathcal {I}}(\chi _{A})=\{\emptyset ,A,A^{\mathsf {c}},\Omega \}$.
• $X\subset Y$ és $(Y,{\mathcal {A}})$ mértéktér, ahol $i\colon X\to Y,\,i(x)=x$ a természetes beágyazás, akkor a kezdeti σ-algebra éppen a nyom σ-Algebra: ${\mathcal {I}}(i)={\mathcal {A}}|_{X}$.
• $\textstyle \Omega =\prod _{i\in I}\Omega _{i}$ az $\Omega _{i}$ halmazok Descartes-szorzata egy nemüres $I$ indexhalmazzal és $(\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})$ mértéktér. Legyenek az $\pi _{i}\colon \Omega \to \Omega _{i},\,\pi _{i}(\omega )=\omega _{i}$ leképezések vetületek az $i$-edik komponensre, ekkor a vetületek kezdeti σ-algebrája éppen a ${\mathcal {A}}_{i}$ szorzat σ-algebrája :

${\mathcal {I}}(\pi _{i},\,i\in I)=\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}$.

Tulajdonságok

• A kezdeti σ-algebra definíció szerint a legkisebb σ-algebra $\Omega$-n, amire az $(f_{i})_{i\in I}$ függvények mérhetők.
• Ha ${\mathcal {E}}_{i}$ az ${\mathcal {A}}_{i}$ halmazok generátorai, akkor $\bigcup _{i\in I}f_{i}^{-1}({\mathcal {E}}_{i})$ az ${\mathcal {I}}(f_{i},\,i\in I)$ generátora.

Alkalmazása

Kezdeti σ-algebrákat használnak például a valószínűségszámításban a valószínűségi változók függetlenségének definiálására. Két valószínűségi változó független, ha kezdeti σ-algebráik független halmazrendszerek.

Források

• Jürgen Elstrodt. Maß- und Integrationstheorie, 6., javított, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2009). ISBN 978-3-540-89727-9 

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Initial-σ-Algebra című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.