Konstans függvény

Egy függvényt konstansnak nevezünk, ha értékkészlete egyelemű. Formálisan: f(x)=f(y) minden, az értelmezési tartományban levő x-re és y-ra. Nem tekintjük konstansnak a függvényt, ha az üres halmazon van értelmezve. Ha polinomként tekintjük, akkor a nem 0 értékű konstans foka 0, a konstans nulla fokát pedig nem értelmezzük.

Tulajdonságok

A konstans függvények jellemezhetők a függvénykompozíció segítségével.

A következők ekvivalensek:

• f : A → B konstans
• minden g, h függvényre g, h : C → A, f o g = f o h, (a kategóriaelméletben így definiálják)
• bármely függvénnyel komponáljuk $f$-et, mindig konstans függvényt kapunk.

Ha f valós intervallumon értelmezett konstans függvény és valós értékű, akkor differenciálható, és deriváltja az azonosan 0 függvény. Monoton nő és monoton csökken, de nem szigorúan monoton. Grafikonja vízszintes egyenesdarab, az intervallumtól függően szakasz, félegyenes vagy egyenes.

A konstans függvények részbenrendezett halmazokon egyszerre rendezéstartók és rendezésfordítók. Hálókon ez az állítás megfordítható: nincs más függvény, aminek ilyen tulajdonságai lennének.

Topologikus terek bármely konstans leképezése folytonos. Összefüggő halmazon minden lokálisan konstans függvény az egész halmazon konstans. Ha a konstans függvény az értelmezési tartományába képez, akkor idempotens.

• Értelmezhető a valós számok halmazán.
• Értékkészlete y=b (b a hozzárendelés értéke). Itt metszi az y tengelyt avagy melyik számot rendelhetem hozzá az y tengelyhez.
• Amennyiben $b\neq 0$, úgy zérushelye nincsen. Hogyha a hozzárendelés értéke 0, [ f(x)=0 ], a zérushely x∈R.
• Tengelypontja megegyezik az értékkészlet egyetlen elemével.
• Monoton nő és monoton csökken. De nem szigorúan!

Korlátos, minimumának és maximumának is a helye x∈R és értéke y=b. Amennyiben a hozzárendelés értéke nulla, y∈R

További összefüggések, általánosítás

• A komplex függvénytan Liouville tétele szerint korlátos egészfüggvény konstans. Következmény: pólushely nélküli elliptikus függvény konstans.

A lokálisan konstans függvények a konstans függvények általánosításának tekinthetők.

• Tartalmazzon az $Y$ halmaz egynél több elemet. Az $X$ topologikus tér összefüggő, ha minden lokálisan konstans $f:X\to Y$ függvény konstans.
• Ha az $A$ topologikus tér összefüggő, és a $B$ topologikus tér diszkrét, akkor a $g:A\to B$ folytonos függvény konstans.

Bizonyítás: A $B$ tér minden pontja nyílt-zárt. Tekintsük minden egyes pont teljes ősképét, ezek nyílt-zárt halmazok az $A$ térben. Az $A$ tér összefüggősége miatt azonban az összes nyílt-zárt részhalmaz az üres és az egész. Az egésznek viszont csak egy képe lehet, így az egész egy pontba képeződik, tehát a függvény konstans.

Források

• Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
• Thomas-féle kalkulus I., II., III.
• Halász Gábor: Komplex függvénytan
• konstans függvény a PlanetMath oldalain
• konstans függvények a MathAce-nál: magyarázatok és példa kérdések