Topológiák összehasonlítása

A matematika topológia nevű ágában topológiák összehasonlításán azt értjük, hogy egy adott alaphalmazon értelmezett két topológia közül az egyiket a másiknál finomabbnak (vagy ekvivalens értelemben a másodikat az elsőnél durvábbnak) mondjuk.

Definíció

Legyen $\tau _{1}$ és $\tau _{2}$ topológia egyazon $X$ alaphalmazon. Ha $\tau _{1}\subset \tau _{2}$, akkor azt mondjuk, hogy $\tau _{2}$ finomabb mint $\tau _{1}$, illetve ekvivalens megfogalmazásban $\tau _{1}$ durvább mint $\tau _{2}$.

Példák

• Tetszőleges alaphalmazon a diszkrét topológia minden más topológiánál finomabb, az indiszkrét topológia minden más topológiánál durvább.
• Az {1,2,3} alaphalmazon jelölje $\tau _{1}$ azt a topológiát, amely az { }, {1} és {1,2,3} halmazokból áll. Jelölje továbbá $\tau _{2}$ azt a topológiát, amely az { }, {1}, {2}, {1,2} és {1,2,3} halmazokból áll. Akkor $\tau _{1}$ durvább $\tau _{2}$-nél, és $\tau _{2}$ finomabb $\tau _{1}$-nél.
• Ugyanezen az alaphalmazon az { }, {1} és {1,2,3} halmazokból álló illetve az {}, {2} és {1,2,3} halmazokból álló topológiák közül egyik sem finomabb vagy durvább a másiknál.

Tulajdonságok

Legyen $\tau _{1}$ és $\tau _{2}$ topológia egyazon $X$ alaphalmazon úgy, hogy $\tau _{1}$ finomabb, mint $\tau _{2}$. Akkor az $(X,\tau _{1})$ topologikus térből az $(X,\tau _{2})$ topologikus térbe vezető identikus leképezés folytonos, hiszen ilyenkor tetszőleges $\tau _{2}$-beli nyílt halmaz ősképe $\tau _{1}$-beli nyílt halmaz.

Források

• Schubert, Horst. Topológia, fordította Fridli Sándor, Budapest: Műszaki Könyvkiadó (1986). ISBN 963-10-6424-7