Toeplitz-sejtés
 |
A matematika megoldatlan problémája: Van-e minden Jordan-görbének beírt négyzete? (A matematika további megoldatlan problémái)
|
A Toeplitz-sejtés, más néven a beírt négyzet problémája a geometria egy megválaszolatlan kérdése. A kérdés ez: Tartalmazza-e minden egyszerű zárt síkgörbe egy négyzet összes csúcsát? Speciális esetekben ismert a válasz, például konvex, vagy szakaszonként sima görbékre. Otto Toeplitz 1911-ben vetette fel.[1] Már Arnold Emch[2] és Lev Schnirelmann[3] is igenlő választ adott egyes speciális esetekre. Az általános eset azonban még 2012-ben is megoldatlan maradt.
Áttekintés
[szerkesztés]Legyen C Jordan-görbe. A P poligon C-be van írva, ha C P összes csúcsát tartalmazza. A Toeplitz-sejtés kérdése tehát így hangzik:
Tartalmaz-e minden zárt síkbeli Jordan-görbe beírt négyzetet?
Nincs megkövetelve, hogy a csúcsokat a bejárás szerinti sorrendben tartalmazza. Ha C tompaszögű háromszög, akkor a beírt négyzet egyértelmű.
A legáltalánosabb eredményt Stromquist adta, ami minden lokálisan monoton görbére igenlő választ ad.[4] Ez azt jelenti, hogy a görbe minden pontjának környezete előáll függvénygrafikonként. Pontosabban, ha C görbe, és p tetszőleges pontja C-nek, akkor van egy U(p) környezet, hogy C-nek nincs az n(p) iránnyal párhuzamos húrja, ahol n(p) a helyi normális. EZ magában foglalja a konvex görbéket.
Az igenlő válasz középpontosan szimmetrikus görbékre is ismert.[5]
Változatai és általánosításai
[szerkesztés]Meg lehet kérdezni azt is, hogy milyen további alakzatok írhatók egy tetszőleges Jordan-görbébe. Ismert, hogy bármely T háromszögre és Jordan-görbére a görbébe beírható egy T-hez hasonló háromszög.[6][7] Sőt, az ilyen háromszögek csúcsai sűrűek a görbén.[8] Speciálisan, egyenlő oldalú háromszög is írható tetszőleges Jordan-görbébe. Ismert, hogy téglalap is írható tetszőleges Jordan-görbébe.
A probléma egyes általánosításai beírt sokszögekkel foglalkoznak. Még általánosabban, magasabb dimenziós terekben nem üres, összefüggő, kompakt metrikus tereket keresnek. Stromquist például belátta, hogy minden Rn-beli görbének van beírt egyenlő oldalú és egyenlő átlójú négyszöge, amelynek minden pontjának egy alkalmas környezetében nincsenek merőleges húrjai.[4] Ez a görbeosztály tartalmazza az összes C2-görbét, azaz a kétszer folytonosan differenciálható görbéket. Nielsen és Wright megmutatta, hogy minden Rn-beli szimmetrikus kontinuum sok beírt téglalapot tartalmaz.[5] H.W. Guggenheimer bebizonyította, hogy minden, az n-gömbhöz C3-diffeomorf hiperfelület tartalmazza az euklideszi n dimenziós kocka 2n csúcsát.[9]
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ Toeplitz, O. : Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), p. 197.
- ↑ Emch, Arnold (1916), "On some properties of the medians of closed continuous curves formed by analytic arcs", American Journal of Mathematics 38 (1): 6–18, DOI 10.2307/2370541.
- ↑ Šnirel'man, L. G. (1944), "On certain geometrical properties of closed curves", Akademiya Nauk SSSR i Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk 10: 34–44.
- ↑ a b Stromquist, Walter (1989), "Inscribed squares and square-like quadrilaterals in closed curves", Mathematika 36 (2): 187–197, DOI 10.1112/S0025579300013061.
- ↑ a b Nielsen, Mark J. & Wright, S. E. (1995), "Rectangles inscribed in symmetric continua", Geometriae Dedicata 56 (3): 285–297, DOI 10.1007/BF01263570.
- ↑ Meyerson, Mark D. (1980), "Equilateral triangles and continuous curves", Fundamenta Mathematicae 110 (1): 1–9.
- ↑ Kronheimer, E. H. & Kronheimer, P. B. (1981), "The tripos problem", The Journal of the London Mathematical Society, Second Series 24 (1): 182–192, DOI 10.1112/jlms/s2-24.1.182.
- ↑ Nielsen, Mark J. (1992), "Triangles inscribed in simple closed curves", Geometriae Dedicata 43 (3): 291–297, DOI 10.1007/BF00151519.
- ↑ Guggenheimer, H. (1965), "Finite sets on curves and surfaces", Israel Journal of Mathematics 3: 104–112, DOI 10.1007/BF02760036.
Ajánlott irodalom
[szerkesztés]- Victor Klee and Stan Wagon, Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, The Dolciani Mathematical Expositions, Number 11, Mathematical Association of America, 1991
Külső linkek
[szerkesztés]- Mark J. Nielsen, Figures Inscribed in Curves. A short tour of an old problem
- Inscribed squares: Denne speaks at Jordan Ellenberg's blog