Teniszütő-tétel

A "Théorie Nouvelle de la Rotation des Corps" címlapja, 1852-es nyomtatás

A teniszütő fő tengelyei

A teniszütő-elmélet a klasszikus mechanika eredménye, amely egy merev test mozgását írja le, három különálló fő tehetetlenségi nyomatékkal. Dzsanyibekov-effektusnak is nevezik Vlagyimir Dzsanibekov orosz űrhajós után, aki 1985-ben az űrben tartózkodva észrevette a tétel egyik logikai következményét, bár a hatás már legalább 150 évvel korábban is ismert volt.

A tétel a következő hatást írja le: egy objektum forgása az első és a harmadik fő tengelye körül stabil, míg a második fő tengelye (vagy a köztes tengely) körül nem.

Ez a következő kísérlettel bizonyítható: fogjuk a teniszütőt a nyelénél úgy, hogy az arccal lefelé nézzen, és dobjuk úgy a levegőbe, hogy teljes forgást hajtson végre a nyélre merőleges vízszintes tengely körül, majd kapjuk el újra a nyelénél. Szinte minden esetben a dobás során a teniszütő egy fél elfordulást is elvégez, így a teniszütő másik oldala van már fent. Míg ezzel szemben ha az ütőt a nyéllel megegyező irányú és az ütő arcára merőleges főtengelye körül forgatva dobjuk el, nem történik kísérő félfordulás.

A kísérlet bármely olyan tárggyal elvégezhető, amelynek három különböző tehetetlenségi nyomatéka van, például könyvvel, távirányítóval vagy okostelefonnal. A hatás akkor jelentkezik, amikor a forgástengely csak kis mértékben tér el a tárgy második fő tengelyétől; a légellenállás vagy a gravitáció nem szükséges.

Elmélet

A közbenső tengely instabilitásának vizualizálása. A perdület négyzete (barna ellipszoid) és a mozgási energia (kék ellipszoid) egyaránt megmaradó mennyiségek. Ennek eredményeként a szögsebességvektor két ellipszoid metszésvonalán marad. A metszésvonal a legkisebb és legnagyobb tehetetlenségi tengely közelében marad, míg középső tengelytől távolodik.

Dzsanyibekov-effektus Mikrogravitációban, NASA

A teniszütő-elmélet kvalitatív módon elemezhető Euler egyenleteinek segítségével. Nyomatékmentes körülmények között a következő képpen írható fel:

${\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}$

Itt $I_{1},I_{2}$ és $I_{3}$-al a tárgy fő tehetetlenségi nyomatékjait jelöljük, és feltételezzük, hogy $I_{1}>I_{2}>I_{3}$ . A tárgy három fő tengelye körüli szögsebességét $\omega _{1},\omega _{2}$ és $\omega _{3}$-al,míg idő szerinti deriváltjaikat pedig ${\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2}$ és ${\dot {\omega }}_{3}$-al jelöljük .

Stabil forgás az első és a harmadik főtengely körül

Képzeljük el azt a helyzetet, amikor egy tárgy a tengelye körül forog $I_{1}$ tehetetlenségi nyomatékkal. Az egyensúly természetének meghatározásához vegyünk fel kis kezdeti szögsebességeket a másik két tengely mentén. Ennek eredményeként az (1) egyenlet szerint $~{\dot {\omega }}_{1}$ nagyon kicsi. Ezért az $~\omega _{1}$ idő függősége elhanyagolható.

Most rendezzük úgy át a (2) egyenletet, hogy ${\dot {\omega }}_{3}$-t behelyettesítjük a (3) egyenletből,

${\begin{aligned}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})(I_{1}-I_{2})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{i.e. }}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text{(negatív mennyiség)}}\cdot \omega _{2}\end{aligned}}$

mivel $I_{1}-I_{2}>0$ és $I_{3}-I_{1}<0$ .

Vegyük figyelembe, hogy $\omega _{2}$ szögsebesség és második deriváltja ellentétes előjelű, ezért a tengely körüli forgás stabil az objektum számára (lásd: harmonikus rezgőmozgás differenciálegyenlete).

Hasonlóan képpen a $I_{3}$ tehetetlenségi nyomatékkal rendelkező tengely szintén stabil.

A második főtengely körüli instabil forgás

Most alkalmazzuk ugyanazt az egyenlet levezetést az $I_{2}$ tehetetlenségi nyomatékkal rendelkező tengelyre. Ezúttal a ${\dot {\omega }}_{2}$ nagyon kicsi. Ezért az $~\omega _{2}$ idő függősége hanyagolható el.

Most rendezzük úgy át az (1) egyenletet, hogy az ${\dot {\omega }}_{3}$-at behelyettesítjük a (3) egyenletből,

${\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})(I_{1}-I_{2})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\{\text{i.e.}}~~~~{\ddot {\omega }}_{1}&={\text{(pozitív mennyiség)}}\cdot \omega _{1}\end{aligned}}$

Vegyük figyelembe, hogy $\omega _{1}$ és második deriváltja azonos előjelű (és ezért $\omega _{1}$ bármilyen kis kezdeti érték esetén abszolút értékben növekedni fog), ezért a második tengely körüli forgatás instabil. Ezért még egy apró zavar is egy másik tengely mentén képes megfordítani a tárgyat.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Tennis racket theorem című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Dan Russell: Slow motion Dzhanibekov effect demonstration with table tennis rackets, 2010. március 5. (Hozzáférés: 2017. február 2.)
• Dzhanibekov effect demonstration. zapadlovsky (YouTube), 2010. június 16. (Hozzáférés: 2021. február 24.) – a Mir szovjet űrállomáson készült demonstráció^{[pontosabban?]}
• Viacheslav Mezentsev: Djanibekov effect modeled in Mathcad 14, 2011. szeptember 7. (Hozzáférés: 2017. február 2.)
• Louis Poinsot, Théorie nouvelle de la rotation des corps, Párizs, Bachelier, 1834, 170 p. OCLC 457954839 – történelmileg ennek a hatásnak az első matematikai leírása
• Matt Parker: Ellipsoids and The Bizarre Behaviour of Rotating Bodies (Az ellipszoidok és a forgó testek bizarr viselkedése) (angol nyelven). Stand-up Maths, 2020. július 24. – 25 perces intuitív videomagyarázat a Cambridge-i Egyetem matematikusának, Hugh Hunt segítségével

Kapcsolódó szócikkek

• Euler-szögek
• Tehetetlenségi nyomaték