Ugrás a tartalomhoz

Teniszütő-tétel

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A "Théorie Nouvelle de la Rotation des Corps" címlapja, 1852-es nyomtatás
A teniszütő fő tengelyei

A teniszütő-elmélet a klasszikus mechanika eredménye, amely egy merev test mozgását írja le, három különálló fő tehetetlenségi nyomatékkal. Dzsanyibekov-effektusnak is nevezik Vlagyimir Dzsanibekov orosz űrhajós után, aki 1985-ben az űrben tartózkodva észrevette a tétel egyik logikai következményét, bár a hatás már legalább 150 évvel korábban is ismert volt.[1][2]

A tétel a következő hatást írja le: egy objektum forgása az első és a harmadik fő tengelye körül stabil, míg a második fő tengelye (vagy a köztes tengely) körül nem.

Ez a következő kísérlettel bizonyítható: fogjuk a teniszütőt a nyelénél úgy, hogy az arccal lefelé nézzen, és dobjuk úgy a levegőbe, hogy teljes forgást hajtson végre a nyélre merőleges vízszintes tengely körül, majd kapjuk el újra a nyelénél. Szinte minden esetben a dobás során a teniszütő egy fél elfordulást is elvégez, így a teniszütő másik oldala van már fent. Míg ezzel szemben ha az ütőt a nyéllel megegyező irányú és az ütő arcára merőleges főtengelye körül forgatva dobjuk el, nem történik kísérő félfordulás.

A kísérlet bármely olyan tárggyal elvégezhető, amelynek három különböző tehetetlenségi nyomatéka van, például könyvvel, távirányítóval vagy okostelefonnal. A hatás akkor jelentkezik, amikor a forgástengely csak kis mértékben tér el a tárgy második fő tengelyétől; a légellenállás vagy a gravitáció nem szükséges.[3]

Elmélet

[szerkesztés]
A közbenső tengely instabilitásának vizualizálása. A perdület négyzete (barna ellipszoid) és a mozgási energia (kék ellipszoid) egyaránt megmaradó mennyiségek. Ennek eredményeként a szögsebességvektor két ellipszoid metszésvonalán marad. A metszésvonal a legkisebb és legnagyobb tehetetlenségi tengely közelében marad, míg középső tengelytől távolodik.
Dzsanyibekov-effektus Mikrogravitációban, NASA

A teniszütő-elmélet kvalitatív módon elemezhető Euler egyenleteinek segítségével. Nyomatékmentes körülmények között a következő képpen írható fel:

Itt és -al a tárgy fő tehetetlenségi nyomatékjait jelöljük, és feltételezzük, hogy . A tárgy három fő tengelye körüli szögsebességét és -al,míg idő szerinti deriváltjaikat pedig és -al jelöljük .

Stabil forgás az első és a harmadik főtengely körül

[szerkesztés]

Képzeljük el azt a helyzetet, amikor egy tárgy a tengelye körül forog tehetetlenségi nyomatékkal. Az egyensúly természetének meghatározásához vegyünk fel kis kezdeti szögsebességeket a másik két tengely mentén. Ennek eredményeként az (1) egyenlet szerint nagyon kicsi. Ezért az idő függősége elhanyagolható.

Most rendezzük úgy át a (2) egyenletet, hogy -t behelyettesítjük a (3) egyenletből,

mivel és .

Vegyük figyelembe, hogy szögsebesség és második deriváltja ellentétes előjelű, ezért a tengely körüli forgás stabil az objektum számára (lásd: harmonikus rezgőmozgás differenciálegyenlete).

Hasonlóan képpen a tehetetlenségi nyomatékkal rendelkező tengely szintén stabil.

A második főtengely körüli instabil forgás

[szerkesztés]

Most alkalmazzuk ugyanazt az egyenlet levezetést az tehetetlenségi nyomatékkal rendelkező tengelyre. Ezúttal a nagyon kicsi. Ezért az idő függősége hanyagolható el.

Most rendezzük úgy át az (1) egyenletet, hogy az -at behelyettesítjük a (3) egyenletből,

Vegyük figyelembe, hogy és második deriváltja azonos előjelű (és ezért bármilyen kis kezdeti érték esetén abszolút értékben növekedni fog), ezért a második tengely körüli forgatás instabil. Ezért még egy apró zavar is egy másik tengely mentén képes megfordítani a tárgyat.

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. Poinsot (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps, Bachelier, Paris
  2. Derek MullerThe Bizarre Behavior of Rotating Bodies, Explained. Veritasium. (Hozzáférés ideje: February 16, 2020.)
  3. Levi, Mark. Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control: An Intuitive Introduction. American Mathematical Society, 151–152. o. (2014). ISBN 9781470414443 

Fordítás

[szerkesztés]
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Tennis racket theorem című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

[szerkesztés]

Kapcsolódó szócikkek

[szerkesztés]