Tehetetlenségi nyomaték

A perdületmegmaradás bemutatása

A tehetetlenségi nyomaték (SI egysége a kg×m²), a tömeggel analóg mennyiség forgómozgásnál. Vagyis a tehetetlenségi nyomaték a forgást végző merev test forgási tehetetlensége. Szokásos jelölése $I\,$, $J\,$ vagy $\Theta \,$.

Áttekintés

Egy merev test tehetetlenségi nyomatéka egy adott tengely körül azt adja meg, hogy „mennyire nehéz” megváltoztatni a szögsebességét a tengely körül.

Analógia: A tehetetlenségi nyomaték egy forgást végző testnél ugyanazt jelenti, amit egy egyenes vonalon haladó testnél a tömeg jelent. Mégpedig azt, hogy mekkora energiát tárol adott test, adott mozgásállapotával. A tárolt energia és a tehetetlenségi nyomaték(vagy analógia esetében a tömeg) egyenes arányosságban áll egymással.

Szemléltetésként vegyünk egy A és egy B tárcsát, melyek tömege egyenlő. Az A tárcsa sugara legyen nagyobb, mint B sugara. Feltételezve, hogy a tárcsák anyaga homogén és vastagságuk azonos, nehezebb felgyorsítani (azaz a szögsebességét növelni) az A tárcsát, mivel tömege átlagosan távolabb van a tengelytől. Azt mondjuk, hogy A tehetetlenségi nyomatéka nagyobb, mint B tehetetlenségi nyomatéka.

A tehetetlenségi nyomatéknak két alakja van, az egyiket, az $I\,$ skaláris alakot akkor használjuk, ha az $\mathbf {\hat {n}}$ forgás tengelyét ismerjük, a másik, általánosabb $\mathbf {I}$ tenzor alakjához nem kell ismernünk a forgástengelyt. A skalár tehetetlenségi nyomatékot gyakran egyszerűen „tehetetlenségi nyomatéknak” nevezik. Nem szabad összetéveszteni a tehetetlenségi nyomatékot a (síkidomok) másodrendű nyomatékával, melyet azonos módon $I\,$-vel jelölnek. A legegyszerűbben a mértékegységek alapján lehet őket egymástól megkülönböztetni.

Hasonlóképpen a tehetetlenségi nyomatékot nem szabad összekeverni a poláris másodrendű nyomatékkal, mely egy rúd csavarással szembeni ellenállásának mértéke.

Definíció

Egy tengely körül forgó tömegpont skalár tehetetlenségi nyomatékát az

$I{=}\ mr^{2}\,$

definiálja, ahol

$m\,$ a tömege és

$r\,$ a forgástengelytől mért távolsága

A tehetetlenségi nyomaték additív, így egy $N\,$ darab $m_{i}\,$ tömegű, a forgástengelytől egyenként $r_{i}\,$ sugáron elhelyezett tömegpontból álló merev test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékainak összegével

$I{=}\ \sum _{i=1}^{N}{m_{i}r_{i}^{2}}\,\!$

Folytonos $\rho$ sűrűségű merev test ismert forgástengelyre vett tehetetlenségi nyomatékát a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékának integrálásával számíthatjuk ki:

$I{=}\ \int \limits _{V}r^{2}(m)\,dm=\iiint \limits _{V}r^{2}(v)\,\rho (v)\,dv=\iiint \limits _{V}r^{2}(x,y,z)\,\rho (x,y,z)\,dx\,dy\,dz\!$

ahol

$V\,$ a test térfogata,

$r\,$ a forgástengelytől mért távolság,

$m\,$ a tömeg,

$v\,$ a térfogat,

$\rho \,$ a test pontszerű sűrűségének függvénye és

$x\,$, $y\,$, $z\,$ a derékszögű koordináták.

Közelítő képletek

Egyes nem pontszerű testek tehetetlenségi nyomatékát közelíteni lehet a következő egyszerű képlettel:

$I\approx k\cdot M\cdot {R}^{2}\,\!$

ahol

$k\,$ a testre jellemző tényező,

$M\,$ a test tömege és

$R\,$ a test sugara a forgástengelytől mérve.

A $k\,$ tényező értéke attól függ, milyen a test alakja, az $R\,$ sugár pedig a test legtávolabbi pontjának távolsága a forgástengelytől. Például:

• $k\,=1$ – vékony gyűrű vagy vékony falú henger geometriai tengelye körül forgatva
• $k\,=2/5$ – tömör gömb geometriai tengelye körül forgatva

Más nem pontszerű testeknél a képlet:

$I\approx k\cdot M\cdot {L}^{2}\,\!$

ahol

$k\,$ a testre jellemző tényező,

$M\,$ a test tömege és

$L\,$ a test átmérője.

A $k\,$ tényező értéke attól függ, milyen a test alakja, az $L\,$ átmérő pedig a test két legtávolabbi pontjának távolsága. Például:

• $k\,=1/12$ – vékony rúd a súlypontján átmenő, a hosszára merőleges tengely körül forgatva
• $k\,=1/3$ – vékony rúd egyik végpontján átmenő tengely körül forgatva

Ezek alapján néhány homogén test tehetetlenségi nyomatéka

Test	Tengely	$\theta$
Körhenger	szimmetriatengely	${\frac {1}{2}}mR^{2}$
	erre merőleges tengely	${\frac {1}{4}}mR^{2}+{\frac {1}{12}}mh^{2}$
Üres körhenger	szimmetriatengely	${\frac {1}{2}}m(R_{1}^{2}-R_{2}^{2})$
Derékszögű egyenes hasáb	a c éllel párhuzamos tengely	${\frac {1}{12}}m(a^{2}+b^{2})$
Kocka	súlyponttengely	${\frac {1}{6}}ma^{2}$
Gömb	súlyponttengely	${\frac {2}{5}}mR^{2}$
Gömbhéj	súlyponttengely	${\frac {2}{3}}mR^{2}$
Ellipszoid	c tengely	${\frac {1}{5}}m(a^{2}+b^{2})$
Egyenes körkúp	szimmetriatengely	${\frac {3}{10}}mR^{2}$

Párhuzamos tengelyek tétele

Ha a tehetetlenségi nyomaték egy, a tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkozólag ismert, akkor ezzel párhuzamos tengelyre könnyen kiszámítható. Ha az új tengely $R\,$ távolságra van a tömegközépponton átmenő tengelytől (például egy tárcsa tehetetlenségi nyomatéka a palástjára illeszkedő tengely körül), az erre számított tehetetlenségi nyomaték:

$I_{\mathrm {1} }=I_{\mathrm {s} }+MR^{2}\,\!$

ahol

$M\,$ a merev test tömege,

$I_{1}\,$ az új tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték,

$I_{s}\,$ a tömegközépponton áthaladó tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték és

$R\,$ a tengely távolsága a tömegközépponton átmenő tengelytől.

Ezt a tételt Steiner-tételnek, vagy az angolszász irodalomban Huygens-Steiner-tételnek is nevezik.

Mozgási energia

A rendszer mozgási energiáját a tehetetlenségével lehet kifejezni. $N\,$ számú, egyenként $m_{i}\,$ tömeggel rendelkező, $v_{i}\,$ sebességű pont $E_{k}\,$ mozgási energiája egyenlő:

$E_{k}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}\,\!$

Egy merev testre, mely $\omega \,$ szögsebességgel forog, a sebességek így írhatók:

$v_{i}=\omega r_{i}\,\!$ (omega dimenziója: rad/sec)

ahol ismét $r_{i}\,$ a tömegpont tengelytől mért távolsága. Ezzel a mozgási energia így írható:

$E_{k}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{i}\omega ^{2}r_{i}^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!$

És végül a végképletre írható:

$E_{k}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!$

Impulzusmomentum és nyomaték

Egy tömegpontokból álló rendszer $\mathbf {L}$ impulzusmomentumát a $p_{i}\,$ impulzusából és a tömegpontnak a forgástengelytől számított $r_{i}\,$ távolságából a következőképpen lehet kiszámítani:

$\mathbf {L} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}$

Az $\mathbf {\hat {n}}$ egységvektorral jellemzett forgástengely körül $\omega \,$ szögsebességgel forgó merev test tetszőleges pontjának $\mathbf {v} _{i}$ sebességvektorára írható a következő vektoriális szorzat:

$\mathbf {v} _{i}=\omega \mathbf {\hat {n}} \times \mathbf {r} _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{i}$

ahol

a szögsebességvektor ${\boldsymbol {\omega }}{=}\ \omega \mathbf {\hat {n}}$ és

$\mathbf {r} _{i}$ a forgástengelyt a tömegponttal összekötő legrövidebb vektor.

Behelyettesítve a $\mathbf {v} _{i}$ összefüggését az $\mathbf {L}$ definíciójába:

$\mathbf {L} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{i})={\boldsymbol {\omega }}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}=I\omega \mathbf {\hat {n}}$

ahol felhasználtuk azt, hogy az $\mathbf {r} _{i}$ vektorok merőlegesek a forgástengelyre (például egy lendkeréknél): ${\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {r} _{i}=0$.

Az $\mathbf {N}$ nyomaték az $\mathbf {L}$ impulzusmomentum változási sebessége:

$\mathbf {N} \ {=}\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}$

Ha az $I\,$ tehetetlenségi nyomaték állandó (vagy azért, mert a fő tehetetlenségi nyomatékok egyenlőek vagy azért, mert a nyomaték az $\mathbf {\hat {n}}$ forgástengely körül forgatja a testet és így $\mathrm {I} \,$ nem változik), írható:

$\mathbf {N} \ {=}\ I{\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {\hat {n}} =I\alpha \mathbf {\hat {n}}$

ahol

$\alpha \,$ az úgynevezett szöggyorsulás az $\mathbf {\hat {n}}$ tengely körül.

Megjegyezzük, ha $I\,$ nem állandó a külső koordináta-rendszerben (vagyis a szabad tengellyel rendelkező rendszer fő tehetetlenségi nyomatékai nem egyenlőek), a tehetetlenségi nyomatékot nem lehet a deriváltból kiemelni. Ez az eset a nyomatékmentes szabad precesszió.

Tehetetlenségi nyomaték tenzor

Ugyanannak a testnek a különböző tengelyekre vett tehetetlenségi nyomatéka különböző. Például a három derékszöget bezáró ($x\;$, $y\;$ és $z\;$) koordinátatengelyre vett tehetetlenségi nyomatéka

$I_{xx}=\;$ az $x\;$ tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

$I_{yy}=\;$ az $y\;$ tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

$I_{zz}=\;$ a $z\;$ tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

nem biztos, hogy egyenlőek, hacsak a test nem szimmetrikus minden tengelyre. A tehetetlenségi nyomaték tenzor segítségével kényelmesen foglalhatjuk egy mennyiségbe egy test összes tehetetlenségi nyomatékát.

Definíció

Egy merev test $N\,$ darab $m_{i}\,$ tömegpontjának tehetetlenségi tenzora az alábbi alakú:

$\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}$.

Elemei az alábbiak szerint definiálhatók:

$I_{xx}\ {=}\ \sum _{i=1}^{N}m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!$,

$I_{yy}\ {=}\ \sum _{i=1}^{N}m_{i}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!$,

$I_{zz}\ {=}\ \sum _{i=1}^{N}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\,\!$,

$I_{xy}=I_{yx}\ {=}\ -\sum _{i=1}^{N}m_{i}x_{i}y_{i}\,\!$,

$I_{xz}=I_{zx}\ {=}\ -\sum _{i=1}^{N}m_{i}x_{i}z_{i}\,\!$ és

$I_{yz}=I_{zy}\ {=}\ -\sum _{i=1}^{N}m_{i}y_{i}z_{i}\,\!$

derékszögű $(x_{i},y_{i},z_{i})\,$ koordinátákra, ahol az origó a test súlypontjában van. Itt $I_{xx}\,$ jelöli az $x\,$-tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az $x\,$-tengely körül forog, $I_{xy}\,$ jelöli az $y\,$-tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az $x\,$-tengely körül forog, és így tovább.

Ezeket a mennyiségeket általánosítani lehet folytonos tömegeloszlású testekre is, hasonlóan a skalár tehetetlenségi nyomatékhoz. Írható:

$\mathbf {I} =\int _{V}\left[\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {\delta } -\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right]\ dm$

ahol $\left(\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)_{i,j}=\mathbf {r} _{i}\mathbf {r} _{j}$ és $\mathbf {\delta } \,$ a 3 x 3 egységmátrix.

Redukció skalár alakra

Az $I$ skalár bármely $\mathbf {\hat {n}}$ tengelyre a $\mathbf {I}$ tenzorból számítható kétszeres skalárszorzat segítségével:

$I=\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}n_{j}I_{jk}n_{k}$

ahol az összegezés a három derékszögű koordinátára terjed ki.

Fő tehetetlenségi nyomatékok

Mivel a tenzor valós, szimmetrikus mátrix, található olyan derékszögű koordináta-rendszer, melyben diagonálmátrix lesz, vagyis ilyen alakú:

$\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}$

ahol a koordinátatengelyeket tehetetlenségi főtengelynek hívják és a $I_{1}\,$, $I_{2}\,$ és $I_{3}\,$ állandókat pedig fő tehetetlenségi nyomatékoknak és általában növekvő sorrendbe rendezik:

$I_{1}\leq I_{2}\leq I_{3}$

A főtengelyek irányába eső egységvektorokat általában így jelölik: $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})$.

Ha mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, akkor bármilyen irányú súlyponton átfektetett tengely tehetetlenségi főtengely.

A főtengelyek gyakran esnek a test szimmetriatengelyeire.

Ha egy merev test egy tengelyre $m\,$-ed rendű szimmetriával rendelkezik, vagyis szimmetrikus $360^{\circ }/m\,$ forgatások alatt egy tengelyre, a szimmetriatengely főtengely. Ha $m>2\,$, akkor két fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő. Ha a merev testnek van legalább két szimmetriatengelye, mely nem merőleges egymásra, akkor mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, például a kocka ilyen (vagy bármely más szabályos test).

Steiner-tétel

Ha a tehetetlenségi tenzor ismert a súlypontra, hasznos módszer a Steiner-tétellel kiszámítani a súlyponttól eltérő tengelyekre. Ha a forgástengelyt $\mathbf {R} \,$ helyvektorral eltoljuk a súlyponti tengelytől, az új tehetetlenségi tenzor egyenlő:

$\mathbf {I} _{jk}^{\mathrm {displaced} }=\mathbf {I} _{jk}^{\mathrm {centroid} }+M\left[\delta _{jk}\,\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} -R_{j}R_{k}\right]$

ahol $M\,$ a merev test tömege és $\delta _{jk}\,$ a Kronecker-delta-függvény.

Más mechanikai mennyiségek

A $\mathbf {I}$ tenzor segítségével a mozgási energia kétszeres skalárszorzatként írható:

$E_{k}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}I_{1}\omega _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{2}\omega _{2}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}$

az impulzusmomentum pedig egyszeres skalár szorzatként:

$\mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}=\omega _{1}I_{1}\mathbf {e} _{1}+\omega _{2}I_{2}\mathbf {e} _{2}+\omega _{3}I_{3}\mathbf {e} _{3}$

A fentiek segítségével a mozgási energia az impulzusmomentum függvényében írható fel a főtengelyek koordináta-rendszerében:

$E_{k}={\frac {L_{1}^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2I_{3}}}\,\!$

ahol $L_{k}\ {=}\ I_{k}\omega _{k}$

$k=1,2,3\,$-re.

Meghatározása méréssel

A műszaki gyakorlatban néha szükség van ismeretlen tömegeloszlású testek tehetetlenségi nyomatékának meghatározására. Ehhez először meg kell határozni a merev test tömegközéppontjának helyét. Ezután a testet fel kell függeszteni és ki kell mozdítani nyugalmi helyzetéből. A test fizikai ingaként lengésbe jön. A $T\,$ lengésidőből, a tömegközéppontnak a felfüggesztési ponttól mért $d\,$ távolságából és a test $m\,$ tömegéből a tehetetlenségi nyomaték kiszámítható:

$I=mgd{\frac {T^{2}}{4\pi ^{2}}}$

Lásd még

• Tehetetlenségi nyomatékok listája
• Tehetetlenségi tenzorok listája
• Nyomaték
• Forgási energia
• Merev test
• Merev forgórész

Források

• Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika. Tankönyvkiadó, Budapest 1957.
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
• Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

Külső hivatkozások

• Mechanika
• Tehetetlenségi nyomatékok táblázata (angol)
• Tehetetlenségi nyomaték és perdület a sulineten
• A tehetetlenségi tenzor (angol)