Számtani-mértani közép

A matematikában két pozitív valós szám számtani-mértani közepe a következő:

Jelölje a két számot x és y! Kiszámoljuk a számtani közepüket, ezt jelölje a₁. Ezután kiszámoljuk a mértani közepüket, ezt jelölje g₁:

${\begin{aligned}a_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x+y)\\g_{1}&={\sqrt {xy}}\end{aligned}}$

A kapott két számnak újra kiszámoljuk a számtani és a mértani közepét, és ezt iteráljuk minden a_n és g_n párra:

${\begin{aligned}a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n})\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\end{aligned}}$

Ekkor az a_n és a g_n sorozatok ugyanahhoz a számhoz tartanak, ami x és y számtani-mértani közepe. Jelölése M(x, y), vagy agm(x, y).

Algoritmusokhoz használják, például a számtani-mértani módszerhez.

Példa

Legyen x = 24 és y = 6, keressük ezek számtani-mértani közepét. Kiszámoljuk a számtani és a mértani közepüket:

${\begin{aligned}a_{1}&={\tfrac {1}{2}}(24+6)=15\\g_{1}&={\sqrt {24\times 6}}=12\end{aligned}}$

a következő lépés:

${\begin{aligned}a_{2}&={\tfrac {1}{2}}(15+12)=13.5\\g_{2}&={\sqrt {15\times 12}}=13.41640786500\dots \\\dots \end{aligned}}$

Az első öt iteráció értékei:

n	an	gn
0	24	6
1	15	12
2	13,5	13,416407864998738178455042…
3	13,458203932499369089227521…	13,458139030990984877207090…
4	13,458171481745176983217305…	13,458171481706053858316334…
5	13,458171481725615420766820…	13,458171481725615420766806…

Az egyezés hossza minden lépésben a duplájára nő. A számtani-mértani közép e két sorozat közös határértéke, ami megközelítően 13.4581714817256154207668131569743992430538388544.

Tulajdonságai

Két pozitív szám számtani közepe sosem kisebb, mint mértani közepük. Ezért g_n növekvő, a_n csökkenő sorozat, és g_n ≤ M(x, y) ≤ a_n. Az egyenlőtlenség szigorú, ha x ≠ y. Tehát a számtani-mértani közép a mértani és a számtani közepek között van.

Ha r ≥ 0, akkor M(rx,ry) = r M(x,y).

Reprezentálható integrál alakban:

${\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}$

ahol K(k) teljes elsőfajú elliptikus integrál:

$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}$

A definíció szerinti számítás elég gyorsan konvergál ahhoz, hogy a számtani-mértani sorozatot elliptikus integrálok számításához használják. A mérnöki tudományokban elliptikus szűrőket terveznek vele. A másodfajú elliptikus integrálok kiszámításához a módosított számtani-mértani közép használható.

A számtani-mértani közép módszerével a logaritmus is jól közelíthető.

Kapcsolódó fogalmak

Az 1 és a négyzetgyök 2 számtani-mértani közepének reciproka a Gauss-konstans:

${\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=G=0,8346268\dots$

A mértani-harmonikus közép hasonlóan számítható, a mértani és a harmonikus középből képzett sorozatokkal. Hasonolóan a számtani-harmonikus közép is definiálható, de megegyezik a mértani középpel.

A létezés bizonyítása

A számtani-mértani közepek között teljesül az alábbi egyenlőtlenség:

$g_{n}\leqslant a_{n}$

így

$g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geqslant {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}$

ennélfogva a g_n sorozat nemcsökkenő.

Továbbá könnyen látható, hogy felülről korlátos, mivel x és y közül a nagyobb jó felső korlát, ami következik abból, hogy a számtani és a mértani közép is a kettő között van. Emiatt a monoton konvergencia tétele szerint konvergens, tehát létezik határértéke, amit jelöljünk g-vel:

$\lim _{n\to \infty }g_{n}=g$

Azt is láthatjuk, hogy:

$a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}$

és így

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g$

Az integrálos alak bizonyítása

Ez a bizonyítás Gausstól származik. Legyen

$I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},$

Helyettesítjük az integrációs változót $\theta '$-vel, ahol

$\sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},$

ezzel

${\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}$

Így

${\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{aligned}}$

Ez utóbbi egyenlőség abból adódik, hogy $I(z,z)=\pi /(2z)$.

Amivel

$M(x,y)=\pi /{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.$

Története

Az első számtani-mértani közepet használó algoritmust Lagrange alkalmazta. Tulajdonságait Gauss elemezte.

Források

• Adlaj, Semjon (2012. szeptember 1.). „An eloquent formula for the perimeter of an ellipse”. Notices of the AMS 59 (8), 1094–1099. o. DOI:10.1090/noti879. 
• Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X MR1641658
• Zoltán Daróczy, Zsolt Páles, Gauss-composition of means and the solution of the Matkowski–Suto problem. Publ. Math. Debrecen 61/1-2 (2002), 157–218.
• Sablon:SpringerEOM
• Weisstein, Eric W.: Arithmetic–Geometric mean (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben az arithmetic–geometric mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.