Riemann–Siegel-féle Z-függvény

A matematikában a Riemann–Siegel-féle Z-függvény egy, a Riemann-féle zéta-függvény tanulmányozásához használt függvény. Nevezik egyszerűen Z-függvénynek, vagy Riemann–Siegel-féle zéta-függvénynek, Hardy-függvénynek, Hardy-féle Z-függvénynek vagy Hardy-féle zéta-függvénynek is. Definíciója a Riemann–Siegel-féle théta-függvény és a Riemann-féle zéta-függvény alapján

$Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).$

Az egyenletből kikövetkeztethető, hogy valós t változókhoz valós értékeket rendel. Páros, és valós értékekre valós analitikus. Mivel a Riemann-féle théta-függvény és a Riemann–Siegel-féle théta-függvény holomorf a kritikus sávban, ezért a Riemann–Siegel-féle Z-függvény is holomorf ugyanitt. Valós nullhelyei megfelelnek a Riemann-féle zéta-függvény kritikus sávbeli nullhelyeinek, továbbá a Z-függvény kritikus sávjában levő nullhelyek is megfelelnek ezeknek a gyököknek.

Z-függvény a komplex síkon

$-5<\Re (t)<5$	$-40<\Re (t)<40$

A Riemann–Siegel-képlet

Valós t értékekre a Z(t) értékekre, így a zéta-függvény kritikus egyenesén felvett értékekre alkalmazható a Riemann–Siegel-képlet. Eszerint

$Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t),$

ahol az R(t) hiba komplex aszimptotikus kifejezhető a

$\Psi (z)={\frac {\cos 2\pi (z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}$

függvénnyel, és deriváltjaival. Ha $u=({\frac {t}{2\pi }})^{1/4}$,$N=\lfloor u^{2}\rfloor$ és $p=u^{2}-N$, akkor

$R(t)\sim (-1)^{N-1}\left(\Psi (p)u^{-1}-{\frac {1}{96\pi ^{2}}}\Psi ^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots \right)$

ahol a három pont azt jelzi, hogy folytathatnánk magasabb fokú és rendű tagokkal.

Ismertek más gyorsan konvergáló sorozatok is. Ha

$Q(a,z)={\frac {\Gamma (a,z)}{\Gamma (a)}}={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{z}^{\infty }u^{a-1}e^{-u}du$

akkor

$Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right)$

egy különösen szép példa.

A Z-függvény viselkedése

A kritikus egyenes tételéből következik, hogy a Z-függvény valós nullhelyeinek sűrűsége

${\frac {c}{2\pi }}\log {\frac {t}{2\pi }}$

egy c > 2/5 konstanssal. Így az adott hosszúságú szakaszokon található nullhelyek száma lassan nő. Ha a Riemann-hipotézis igaz, akkor a kritikus csíkban minden nullhely valós, és a konstans egészen pontosan 1. Ekkor minden nullhely egyszeres.

Omegatétel

A nullhelyek miatt a Z-függvény oszcillál. Átlagának és maximumának értéke is lassan nő. Az omegatétel szerint

$Z(t)=\Omega \left(\exp \left({\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {\log t}{\log \log t}}}\right)\right),$

ahol a jelölés azt jelenti, hogy $Z(t)$ osztva a függvénnyel Ω-ban t növelésével nem tart nullához.

Átlagos növekedés

A kvadratikus közép növekedése:

${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt\sim \log T$

avagy

${\frac {1}{T}}\int _{T}^{2T}Z(t)^{2}dt\sim \log T$

eszerint a Z-függvény RMS-ének növekedése olyan, mint ${\sqrt {\log t}}$. Ez tovább javítható:

${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt=\log T+(2\gamma -2\log(2\pi )-1)+O(T^{-15/22})$

A kitevő növelésével olyan átlagokat kapunk, amelyek jobban függnek a lokális maximumoktól. A negyedik hatványközépre:

${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{4}dt\sim {\frac {1}{2\pi ^{2}}}(\log T)^{4}$

azaz a negyedik hatványközép úgy növekszik, mint ${\frac {1}{2^{1/4}{\sqrt {\pi }}}}\log t$.

Lindelöf-hipotézis

Magasabb rendű páros kitevős hatványokat is vizsgáltak, de még keveset tudnak a megfelelő átlagról. Azt sejtik, hogy

${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2k}dt=o(T^{\epsilon })$

minden pozitív ε esetén, ami a Riemann-hipotézisből is következik. Itt a kis "o" azt jelöli, hogy a bal oldal osztva a jobb oldallal nullához tart. Ez a Lindelöf-hipotézis, amit többnyire egy fontos ekvivalens alakban adnak meg, úgymint

$Z(t)=o(t^{\epsilon });$

Mindkét alakjában korlátozza a csúcsértékek növekedését. A legjobb ismert korlát még mindig viszonylag gyenge, minden $\epsilon >{\frac {89}{570}}\approx 0,156$ alkalmas. Megdöbbentő lenne, ha az bizonyosodna be, hogy tényleg körülbelül ilyen gyorsan nő. Littlewood bizonyította, hogy ha a Riemann-hipotézis igaz, akkor ennél sokkal hihetőbb becslést kapunk:

$Z(t)=o\left(\exp \left({\frac {10\log t}{\log \log t}}\right)\right),$

Források

• Edwards, H.M.. Riemann's zeta function, Pure and Applied Mathematics. New York-London: Academic Press (1974). ISBN 0-12-232750-0 
• Ivić, Aleksandar. The theory of Hardy's Z-function, Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press (2013). ISBN 978-1-107-02883-8 
• Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Cambridge: Cambridge University Press (2001). ISBN 0-521-79001-8 
• Ramachandra, K.. Lectures on the mean-value and Omega-theorems for the Riemann Zeta-function, Lectures on Mathematics and Physics. Mathematics. Tata Institute of Fundamental Research. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-58437-4 
• Titchmarsh, E. C.. The Theory of the Riemann Zeta-Function, second revised, Oxford University Press [1951] (1986) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Z function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.