Regressziószámítás

A statisztikában a regressziószámítás vagy regresszióanalízis során két vagy több véletlen változó között fennálló kapcsolatot modellezzük. A regressziós modell tulajdonságai alapján megkülönböztethetünk lineáris és nemlineáris regressziót, az adataink alapján pedig idősor, keresztmetszeti, és panel regresszióanalízist.

A feladat

A regresszió feladata két vagy több valószínűségi változó közötti $y=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\quad$ függvénykapcsolat meghatározása.

A változókat reprezentáló (n+1) dimenziós $P(y;x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ vektor koordinátáira kapott m számú $P_{1},P_{2},\dots ,P_{m}$ mérési adatból meg kell határozni egy, a vizsgált jelenséget leíró, jól kezelhető függvényt: $y=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=f(X)$, amelynek az $X_{k}=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})_{k}$ helyeken felvett ${\hat {y}}_{k}=f(X_{k})$ értékei

• vagy megegyeznek a megfelelő mért értékekkel: ${\hat {y}}_{k}=y_{k}$ - (interpoláció),
• vagy az $e_{k}=(y_{k}-{\hat {y}}_{k})$ eltérések valamilyen minimum-feltételnek eleget tesznek (regresszió).

Az eltérések mértékét többféleképpen lehet megadni. Leggyakrabban a hibaértékek $e_{k}$ eltérések : $\sum _{i=1}^{m}e_{k}^{2}$ négyzetösszegének minimumát követeljük meg. (l.: legkisebb négyzetek módszere).

A vizsgált jelenség természete szabja meg a közelítésre alkalmas függvény típusát. Eszerint megkülönböztetünk lineáris és nemlineáris regressziót. A kapcsolt változók száma szerint ugyancsak eltérnek a modellek. Ilyen értelemben beszélünk két-, három- stb. változós regresszióról.

Lineáris regresszió

Az általános lineáris modell az

${\hat {y}}=A_{0}+A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}+\dots +A_{n}x_{n}$

függvény $A_{i}$ együtthatóinak meghatározását követeli meg. (Többváltozós lineáris regresszió.)

A leggyakoribb kétváltozós lineáris modell a síkon derékszögű koordináta-rendszerben pontokkal ábrázolható adathalmazra ${\hat {y}}=A_{1}x+A_{0}$ egyenletű egyenes illesztését írja elő. Ezt az egyenest szokás trend-vonalnak, az egyenlet $A_{1}$ együtthatóját trendnek (meredekség, tendencia), $A_{0}$ konstansát tengelymetszetnek nevezni.

Az együtthatók becslésére alkalmazott eljárások:

• a legkisebb négyzetek módszere (angolul Ordinary Least Squares – OLS)
• az általánosított legkisebb négyzetek módszere (Generalized Least Squares – GLS)
• az általánosított momentumok módszere (Generalized Method of Moments – GMM)
• a legnagyobb valószerűség módszere (Maximum Likelihood estimation – ML).

Nemlineáris regresszió

Nemlineáris regressziószámítást akkor alkalmaznak, ha a modell nemlineáris. Az ilyenkor alkalmazható linearizáló módszer abból áll, hogy az eredeti $(y;x_{1},\dots )$ változók helyett, velük összefüggő, de egymással lineáris kapcsolatban lévő $(Y;X_{1},\dots )$ változókat vezetünk be.

Például az $y=A\cdot e^{Bx}\quad$ formulából az $X=x;Y=\ln {y}\quad$ helyettesítésekkel az $Y=\ln A+B\cdot X\quad$ lineáris kapcsolat adódik. Ennek(a,b) együtthatóiból az eredeti formula konstansai adódnak: $A=e^{a};B=b\quad$.

Regresszió. Gyakorlati alkalmazások

• Kehl Dániel-Sipos Béla. Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben. Oktatási segédlet. Gyakorlati alkalmazások. OSZK-MEK (PDF és XLSM) (magyar nyelven). (Hozzáférés: 2022. március 1.)