A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az m-ed rendű poligamma-függvény a gamma-függvény logaritmusának (m+1)-edik deriváltja : [ 1]
ψ
(
m
)
(
z
)
=
d
m
d
z
m
ψ
(
z
)
=
d
m
+
1
d
z
m
+
1
ln
Γ
(
z
)
.
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)={\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\psi (z)={\frac {d^{m+1}}{dz^{m+1}}}\ln \Gamma (z).}
Itt:
ψ
(
z
)
=
ψ
(
0
)
(
z
)
=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}
a digamma-függvény , és
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
gamma-függvény .
A
ψ
(
1
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}
trigamma-függvénynek is hívják.
A gamma-függvény logaritmusa, és néhány első poligamma-függvény a komplex síkon
ln
Γ
(
z
)
{\displaystyle \ln \Gamma (z)}
ψ
(
0
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(0)}(z)}
ψ
(
1
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}
ψ
(
2
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(2)}(z)}
ψ
(
3
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(3)}(z)}
ψ
(
4
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(4)}(z)}
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
∫
0
∞
t
m
e
−
z
t
1
−
e
−
t
d
t
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt}
mely érvényes Re z >0 és m > 0 esetén. m = 0 esetén lásd digamma-függvény .
ψ
(
m
)
(
z
+
1
)
=
ψ
(
m
)
(
z
)
+
(
−
1
)
m
m
!
z
−
(
m
+
1
)
.
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}.}
A multiplikációs elmélet szerint
k
m
ψ
(
m
−
1
)
(
k
z
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
ψ
(
m
−
1
)
(
z
+
n
k
)
{\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}
m
>
1
{\displaystyle m>1}
m
=
0
{\displaystyle m=0}
digamma-függvény :
k
(
ψ
(
k
z
)
−
log
(
k
)
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
ψ
(
z
+
n
k
)
.
{\displaystyle k(\psi (kz)-\log(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
∑
k
=
0
∞
1
(
z
+
k
)
m
+
1
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}
mely m > 0, és bármely z komplex számra igaz, ha az nem negatív egész.
Ez a kifejezés még kompaktabb módon írható le a Hurwitz zéta-függvénnyel:
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
ζ
(
m
+
1
,
z
)
.
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).}
Még egy sorozat létezik a poligamma-függvényre, mely Oscar Schlömilch (1823 – 1901) német matematikus munkája
1
/
Γ
(
z
)
=
z
e
γ
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
e
−
z
/
n
{\displaystyle 1/\Gamma (z)=z\;{\mbox{e}}^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;{\mbox{e}}^{-z/n}}
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
−
1
e
z
/
n
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {{\mbox{e}}^{-\gamma z}}{z}}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\;{\mbox{e}}^{z/n}}
A Taylor sor z=1 esetén
ψ
(
m
)
(
z
+
1
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
m
+
k
+
1
(
m
+
k
)
!
ζ
(
m
+
k
+
1
)
z
k
k
!
,
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},}
mely konvergál |z | < 1 felé.
Itt ζ a Riemann zéta-függvény .
Ezek a sorok felhasználhatók számos racionális zéta sor deriválására.
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions. (hely nélkül): Dover Publications, New York. 1964. ISBN 978-0-486-61272-0 
