Penrose-féle grafikus jelölésrendszer
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
A matematikában és fizikában a Penrose-féle diagrammatikus jelölésrendszer (általában kézzel írott) vizuális leírása a multilineáris függvényeknek vagy tenzoroknak, amelyet Roger Penrose javasolt 1971-ben. A jelölésrendszer egy diagramból áll, amelyben sokféle síkidom van összekötve vonalakkal. A jelölésrendszert Predrag Cvitanović alaposan kutatta, aki arra használta, hogy osztályozza a klasszikus Lie-csoportokat. Általánosítva volt a reprezentációs elmélet a spinhálózatok által a fizikában, valamint a mátrix csoportoktól trace diagramokig a lineáris algebrában. A jelölésrendszer sokszor előfordul a modern kvantumelméletben, különösen a mátrix termékállapotokban és kvantum körökben.
Értelmezések
[szerkesztés]Multilineáris algebra
[szerkesztés]A multilineáris algebra nyelvezetében minden síkidom egy multilineáris függvénynek felel meg. A vonalak a formákhoz kapcsolva a ki- és bemenetét reprezentálják a függvénynek, valamint az idomok összekapcsolása egyúttal a függvények kompozíciója.
Tenzorok
[szerkesztés]A tenzoralgebra nyelvezetében, minden tenzor egy bizonyos formával van asszociálva több vonallal, amelyek le- és felfelé mutatnak, az absztrakt felső és alsó indexekkel megfelelően. Az összekötő vonalak a formák között az indexek rövidítésének felelnek meg. Az egyik előnye a jelölésrendszernek, hogy nem kell új betűket kitalálni az új indexeknek. Ez a jelölésrendszer bázisfüggetlen.
Mátrixok
[szerkesztés]Mindegyik forma egy mátrixot reprezentál, a tenzorszorzást vízszintesen kell végezni, a mátrixszorzást pedig függőlegesen.
Speciális tenzorok reprezentációja
[szerkesztés]Metrikus tenzor
[szerkesztés]A metrikus tenzort egy U alakú hurok vagy egy lefelé fordított U alakú hurok képviseli, a használt tenzor típusától függően.
Levi-Civita-tenzor
[szerkesztés]A Levi-Civita antiszimmetrikus tenzor egy vastag vízszintes vonalnak felel meg, amelyben ágak állnak lefelé vagy felfelé, attól függően, hogy milyen típusú tenzorral dolgozunk.
A szerkezetállandó
[szerkesztés]A Lie-algebra szerkezetkonstansai () egy kicsi háromszög által vannak reprezentálva, amelyből egy vonal mutat felfelé, kettő pedig lefelé.
Tenzorműveletek
[szerkesztés]Az indexek rövidítése
[szerkesztés]Az indexek rövidülése úgy van ábrázolva, hogy az indexek vonalait összekötjük.
Szimmetrizáció
[szerkesztés]Az indexek szimmetrizációját egy vastag cikkcakkos vonallal lehet reprezentálni, amely az index vonalait vízszintesen metszi.
Az indexek antiszimmetrizációja egy vastag vízszintes vonal, amely metszi az index vonalait.
Determináns
[szerkesztés]A determináns úgy alakul meg, hogy antiszimmetrizációt alkalmazunk az indexekre.
Kovariáns derivatív
[szerkesztés]A kovariáns derivatívot () úgy vizualizálhatjuk, hogy egy kört rajzolunk a tenzorok köré, és egy vonal mutat lefelé a körből, hogy reprezentálja a derivatív alsó indexét.
Tenzormanipuláció
[szerkesztés]A diagramszerű jelzésrendszer hasznos a tenzoralgebra manipulációjában. Általában megjelenik benne pár egyszerű „azonosság” a tenzormanipulációban.
Például , ahol n a dimenziók száma, általános "azonosság".
Riemann görbületi tenzor
[szerkesztés]A Ricci és Bianchi-azonosságok a Riemann-görbülettenzor megadott feltételeivel megmutatják a jelölésrendszer erejét.
Kiegészítések
[szerkesztés]A jelölésrendszer ki lett bővítve a spinorokkal és tvisztorokkal.
Fordítás
[szerkesztés]Ez a szócikk részben vagy egészben a Penrose graphical notation című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.