Papposz-tétel

A Papposz-tétel a projektív geometria fontos tétele. Azt mondja ki, hogy ha egy egyenesen felveszünk három pontot, $A$-t, $B$-t és $C$-t, és egy másik egyenesen is felveszünk három pontot, $A'$-t, $B'$-t és $C'$-t, akkor az $AB'$ és az $A'B$ egyenes metszete, a $BC'$ és a $B'C$ egyenes metszete meg az $AC'$ és az $A'C$ metszete egy egyenesre esik.

A tétel a testre épített projektív geometriákban teljesül. Ha a koordináták más ferdetestből valók, akkor nem érvényes. A Pascal-tétel speciális esete, ahol a kúpszelet két egyenesre redukálódik.

Duálisan, ha $a$, $b$ és $c$ egy ponton mennek át, és $a'$, $b'$ és $c'$ is egy ponton mennek át, akkor az $a\cap b'$ pontot az $a'\cap b$ ponttal összekötő egyenes, a $b\cap c'$ pontot a $b'\cap c$ ponttal összekötő egyenes meg a az $a\cap c'$ pontot az $a'\cap c$ ponttal összekötő egyenes egy ponton megy át.

A Papposz-konfigurációt olyan egyenesek és pontok alkotják, amik a tételben szerepelnek. 9 pontot, 9 egyenest tartalmaz, és önduális. Illeszkedési gráfja egy 18 csúcsú és 27 élű távolságreguláris páros gráf.

Ekvivalens alakjai

A Papposz-tétel és duálisának a következő ekvivalens megfogalmazásai ismertek:

• Ha egy hatszög csúcsai felváltva két egyenes valamelyikére illeszkednek, akkor a szemközti oldalpárok metszetei egy egyenesre illeszkednek.
• Tekintsük a következő mátrixot:

${\begin{Vmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\\X&Y&Z\end{Vmatrix}}$

Ha ebben a mátrixban az első két sor és a hat diagonális egy egyenesre illeszkedik, akkor a harmadik sor is. Vagyis, ha $ABC$, $A'B'C'$, $AB'Z$, $BC'X$, $CA'Y$, $XB'C$, $YC'A$, és $ZA'B$ egyenesek, akkor $XYZ$ is egyenes. A megfordításához az egyenesek vonalkoordinátáit kell beírni.

• Adva legyen két egyenes, rajtuk három-három kijelölt ponttal. Ha ezeket párba állítjuk, akkor a nem párba állított pontokat összekötő egyenesek metszéspontjai egy egyenesre esnek.
• Ha $AB$, $CD$ és $EF$ egy ponton mennek át, és $DE$, $FA$ és $BC$ is egy ponton mennek át, akkor $AD$, $BE$ és $CF$ is egy ponton mennek át.

Bizonyítása

A Papposz-tétel bizonyítása ekvivalens a duálisával. Ehhez koordinátageometriai eszközöket használunk.

Válasszuk a koordináta-rendszert úgy, hogy C=(1,0,0), C'=(0,1,0), X=(0,0,1), A=(1,1,1) legyen. Ekkor AC, AC', AX egyenlete: x_2=x_3, x_1=x_3, x_2=x_1. Ekkor B=(p,1,1), B'=(1,q,1), Y=(1,1,r), ahol p, q, r nullelemtől és egységelemtől különböző testelemek. Ekkor XB, C'B', CY egyenletei rendre x_1=px_2, x_2=qx_3, x_3=rx_1. Ezek akkor és csak akkor mennek át egy ponton, ha pqr=1. A feltétel szerint CB', C'B és XY egy ponton mennek át, ha x_2=qx_1, x_1=px_3, x_3=rx_2 és qpr=1. Mivel a test kommutatív, ezért qpr=pqr=1.

A bizonyítás nem működik kommutativitás nélkül. Felvetődik a kérdés, hogy nincs-e más bizonyítás, ami kiterjeszti a tétel érvényességét más síkokra is. Gerhard Hessenberg német matematikus belátta, hogy a Papposz-tételből levezethető a Desargues-tétel. Általában, a Papposz-tétel ekvivalens azzal, hogy a projektív geometria kommutatív testre épített. Nem teljesül nem kommutatív ferdetestekre épített terekben, vagy nem Desargues-síkokon.

Források

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0
• Whicher, Olive (1971), Projective Geometry, Rudolph Steiner Press, ISBN 0-85440-245-4