Dualitás a projektív geometriában

A dualitás a projektív geometriában a szimmetrikus axiómarendszer következménye. Azt jelenti, hogy például a síkban az egyenesek és pontok szerepe szimmetrikus. A projektív síkok pontok és egyenesek közötti illeszkedési relációja tulajdonképpen a pontot tartalmazza az egyenes és az egyenes átmegy a ponton relációk egyesítése. Ez a két utóbbi reláció szintén szimmetrikus szerepet kap a projektív síkon. Magasabb, de véges dimenzióban a dualitás az összes alteret és illeszkedésüket érinti.

A dualitásnak két különböző szemléletű megközelítése létezik. Az egyik a nyelvi, ami a szavakat cserélgeti, a másik a funkcionális, ami egy pont-egyenes, egyenes-pont illeszkedéstartó transzformációt definiál, és ezt dualitásnak nevezi. Ezzel a transzformációval egy duális síkot kapunk. Léteznek azonban véges síkok, amik nem önmaguk duálisai; az ismert példák 9 rendű nem testre épített síkok. Önduális síkokon a dualitást mindig a bizonyítandó állításnak megfelelően választják.

A dualitás elve

Ha a projektív síkot axiomatikusan illeszkedési struktúraként definiáljuk, akkor definiálható egy duális sík.

Legyen C a sík, P a sík pontjainak, L az egyeneseinek halmaza, és jelölje I az illeszkedési relációt. Ekkor

C=(P,L,I).

A duális sík az egyenesek és a pontok szerepének megcserélésével kapható:

C* =(L,P,I*),

ahol I* az illeszkedés duálisa a pontok és az egyenesek szerepének megcserélésével.

Ha C és C* izomorf, akkor C önduális. A ferdetestre épített síkok önduálisak. De vannak nem Desargues-síkok, amik nem azok, például a Hall-síkok, és vannak, amik viszont igen, például a Hughes-síkok.

Ha mondunk egy állítást, ami egy projektív sík egyeneseiről, pontjairól és azok illeszkedéséről szól, akkor a pont, egyenes szavak felcserélésével és az ez által megkövetelt nyelvtani átalakítások elvégzésével az állítás duálisát kapjuk. Az illeszkedés szó helyett gyakran más igéket használunk, ezért ezek cseréjére is figyelni kell. Például a két pontra egyértelműen illeszkedik egy egyenes és két egyenes egy pontban metszi egymást duális állítások. A duális állítás kimondását dualizálásnak is nevezzük. Ha egy ilyen állítás igaz a C síkon, akkor a duális állítás teljesül a C* duális síkon. A dualitás elve szerint önduális síkon az állítások dualizálása megőrzi az állítás igazságértékét.

Három dimenzióban a pontok és a síkok egymás duálisai, és az egyenesek önduálisak. Ez a térbeli dualitás elve. Mivel a Desargues-tétel három dimenzióban bizonyítható, ezért a legalább háromdimenziós projektív terek mind testre épített terek, így önduálisak. A dualitás elve magasabb dimenzióban is teljesül.

A dualitás miatt felmerül az igény arra, hogy az illeszkedést szimmetrikusnak határozzuk meg. Ezért az egyenes átmegy a ponton és a pont az egyenesen van helyett az illeszkedik szót részesítik előnyben.

Duális tételek:

A valós projektív síkon PG(2,R)-en több ismert tétel van, melyek duálisai is nevezetes tételek:

• Desargues-tétel első fele ⇔ Desargues-tétel második fele
• Pascal-tétel ⇔ Brianchon-tétel
• Menelaosz-tétel ⇔ Ceva-tétel

A dualitás, mint leképezés

A sík dualitása a sík illeszkedéstartó leképezése a duális síkjára. Ez azt jelenti, hogy ha egy pont és egy egyenes illeszkedik, akkor a pont képeként kapott egyenes is illeszkedni fog az egyenes képeként kapott pontra. Ha a két sík izomorf, akkor ezek a leképezések a korrelációk.

Testre épített síkon bevezethetők a reciprocitások, amik egy testautomorfizmus és egy projektivitás szorzataként kaphatók. Ha a testautomorfizmus az identitás, akkor projektív korrelációról van szó.

A másodrendű projektív korrelációkat polaritásnak is hívják. Egy φ korreláció, ami nem polaritás, önmagával szorozva nem identikus kollineációt ad.

Magasabb dimenziókban is vannak hasonló leképezések, így ez is kiterjeszthető magasabb dimenzióba.

Három dimenzióban

A háromdimenziós projektív terekben a polaritások pontot síknak, síkot pontnak feleltetnek meg. Ezt leszűkítve kapható a poliéderek dualitása, amiben csúcsnak lap, lapnak csúcs felel meg. Így lesz az ikozaéder duálisa a dodekaéder, és a kocka duálisa az oktaéder.

Magasabb dimenzióban

A projektív síkok és a háromdimenziós projektív terek dualitását magasabb dimenziókra általánosítva a pontok hipersíkoknak felelnek meg, az egyenesek két hipersík metszetének, és így tovább, az r dimenziós altér megfelelője (n-1-r) dimenziós lesz, ahol n a projektív tér dimenziója.

A testre épített PG(n,K) projektív terek homogén koordinátákkal láthatók el. Ez azt jelenti, hogy n+1 hosszú vektorokat képezünk a K test elemeiből vett koordinátákkal, és azonosnak tekintünk két vektort, ha nem nulla konstanssal szorozva egyenlőkké tehetők. Egy másik módszer, ha az adott test fölötti n dimenziós vektorteret beágyazzuk az (n+1) dimenziós vektortérbe úgy, hogy az utolsó koordinátája egy legyen. Ekkor az origón átmenő egyenesek megfeleltethetők az n dimenziós projektív tér pontjainak. Az n dimenziós alteret metsző egyenesek a tér közönséges pontjai lesznek, a vele párhuzamosak pedig a tér ideális pontjainak feleltethetők meg. Általában, a K^l dimenziós altér a projektív tér (l-1) dimenziós altere lesz.

A K^n + 1-beli nem nulla u = (u₀,u₁,...,u_n) vektor szintén meghatároz egy H_u (n - 1) dimenziós projektív teret, ahol

H_u = {(x₀,x₁,...,x_n) : u₀x₀ + … + u_nx_n = 0 }.

Ha az u vektor hipersíkot ad meg, akkor u_H jelöli, ha pontot, akkor u_P. A szokásos skaláris szorzatos jelöléssel H_u = {x_P : u_H • x_P = 0}. Mivel a K test kommutatív, ezért a skalárszorzat is az, ami azt jelenti, hogy:

u_H•x_P = u₀x₀ + u₁x₁ + ... + u_nx_n = x₀u₀ + x₁u₁ + ... + x_nu_n = x_H•u_P.

Ezzel megadható egy illeszkedéstartó megfeleltetés a pontok és a síkok között, ami az illeszkedéstartás alapján kiterjeszthető az egyenesek és két hipersík metszeteként kapható alterekre, majd innen még tovább, a véges dimenziós projektív tér összes alterére. Az ilyen leképezések a reciprocitások.

A K test fölötti PG(2,K) projektív sík esetén a reciprocitás az (a,b,c) koordinátájú pontokat az ax + by + cz = 0 egyenletű egyeneseknek felelteti meg. A K test fölötti PG(3,K) projektív térben az (a,b,c,d) homogén koordinátájú pontok az ax + by + cz + dw = 0 egyenletű síkoknak felelnek meg. Ez a reciprocitás az (a₁,b₁,c₁,d₁) és az (a₂,b₂,c₂,d₂) pontok által megadott egyenest az a₁x + b₁y + c₁z + d₁w = 0 és a₂x + b₂y + c₂z + d₂w = 0 egyenletrendszerű egyenesnek felelteti meg kölcsönösen egyértelműen és illeszkedéstartóan.

Reciprocitás szerkesztése

A PG(2,K) testre épített projektív sík reciprocitása leírható geometriai eszközökkel. Ez az egységgömbös definíciót használja, amiben a gömb szemben fekvő pontjait azonosnak tekintjük. Ezzel ekvivalens az origón átmenő egyenesek és síkok modellje. Legyen a kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a merőlegesség, vagyis egy egyenes képe az a sík lesz, amire merőleges, és egy sík képe az az egyenes lesz, amire merőleges. Ha az egyeneseket a PG(2,K) projektív sík pontjainak, a síkokat a projektív sík egyeneseinek tekintjük, akkor ez a függvénykapcsolat reciprocitásba megy át. A gömbmodell ebből úgy kapható, hogy az egységgömbbel elmetsszük az egyeneseket és a síkokat. Az egyenesek két átellenes pontban metszik a gömböt, ezeket azonosnak tekintjük. A síkok főkörökben metszik a gömböt, amik a projektív sík egyeneseinek tekinthetők.

Az illeszkedéstartás könnyebben bizonyítható az altérmodellből. A pontra illeszkedő egyenes ebben a modellben éppen az egyenesre illeszkedő pont. A függvénykapcsolatban a síknak a rá merőleges egyenes felel meg, ami merőleges a síkban levő összes egyenesre, tehát a pontnak megfelelő egyenesre is. Ennek képe a rá merőleges sík, ami magában foglal minden olyan egyenest, ami merőleges az eredeti egyenesre. Így az eredeti sík képe is illeszkedik rá, tehát ez a függvénykapcsolat illeszkedéstartó.

Pólus-poláris leképezés

Pólus-poláris megfeleltetés az O körre. P = Q', q Q polárisa, és Q q pólusa.

Rögzítsünk egy origó közepű C kört az euklideszi síkon, és tekintsük a körre vett inverziót. Ekkor a P képén átmenő, PO-ra merőleges egyenes lesz a P pont polárisa. Az O-t elkerülő m egyenes pólusa hasonlóan szerkeszthető, csak az O-ból m-re bocsátott merőleges talppontjának képét kell venni. A pólus-poláris megfeleltetés illeszkedéstartó, és nem elfajuló kúpszelet esetén kölcsönösen egyértelmű, tehát reciprocitás a végtelen távoli egyenessel kibővített projektív síkon. Ezen a síkon a reciprocitás kibővíthető úgy, hogy O polárisa a végtelen távoli egyenes, és a végtelen távoli egyenes pólusa az O pont. Az O ponton átmenő s meredekségű ferde egyenesek pólusa a -1/s meredekségű egyenesek ideális pontja; az x tengely pólusa a függőlegesek ideális pontja, az y tengelyé a vízszinteseké.

Ez a megfeleltetés kiterjeszthető más nem elfajuló kúpszeletekre is. Ezek a reciprocitások másodrendűek, így polaritások.

A gömb leképezése síkra

A projektív sík gömb modellje ekvivalens az ideális egyenessel kibővített sík modelljével.

A gömb modell sztereografikus projekcióval síkba képezhető. Ehhez kitűzünk egy pontot a gömb felszínén, és vesszük azt a síkot, ami itt érinti a gömböt. A gömb egy pontjának képe úgy adható meg, hogy vesszük a pontot a gömb középpontjával összekötő egyenest, és tekintjük az egyenes döféspontját a síkkal.

Ezzel a vetítéssel definiálható az

$f:[0,\pi /2]\times [0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} P^{2}.$

egy-egyértelmű leképezés.

Ha az $\mathbb {R} P^{2}$ síkon homogén koordinátákkal adjuk meg a pontokat, akkor

$f:(\theta ,\phi )\mapsto [\cos \phi :\sin \phi :\mathrm {ctg} \theta ],$

$f^{-1}:[x:y:z]\mapsto \left(\arctan {\sqrt {\left({x \over z}\right)^{2}+\left({y \over z}\right)^{2}}},\arctan _{2}(y,x)\right).$

A síkmodell egyenesei éppen a gömbi főkörök képei. A sík minden egyenesére éppen egy olyan sík illeszkedik, ami a gömb középpontján is átmegy, de az ilyen síkok a gömböt főkörben metszik.

Minden főkörhöz egyértelműen van projektív pont, ami a duálisa. De ez két átellenes gömbi pontnak felel meg, amik egyértelműen meghatároznak egy egyenest a térben. Ez az egyenes a kibővített síkot egy pontban metszi, ami azt jelenti, hogy a projektív sík egyenesei és a pontjai geometriai úton összepárosíthatók úgy, hogy egymás duálisai legyenek.

Pólus-poláris szerkesztése

Legyen L projektív egyenes, aminek keressük a duálisát. Bocsássunk rá merőlegest az origóból. Ekkor a pólus a merőleges túlsó oldalán lesz, és távolsága az origótól az L egyenes távolságának reciproka lesz.

Három pár duális egyenes-pont pár: egy piros, egy sárga és egy kék.
A dualitás illeszkedéstartó, így
a piros és a sárga pontokat összekötő egyenes duálisa
a piros és a sárga egyenesek metszete

Egyenletekkel leírva: legyen g a projektív sík önmagára vett kölcsönösen egyértelmű leképezése:

$g:\mathbb {R} P^{2}\rightarrow \mathbb {R} P^{2}$

úgy, hogy

$g:[m:b:1]_{L}\mapsto [m:-1:b]$

és

$g:[x:y:1]\mapsto [x:1:-y]_{L}$

ahol az L index azt jelöli, hogy egyenes vonalkoordinátáiról van szó. Más szóval, az m meredekségű, y tengelymetszetű (m, b) affin egyenes az (m/b, −1/b) pont duálisa. Ha b=0, akkor az egyenes átmegy a koordináta-rendszer origóján, és duálisa az [m : −1 : 0] ideális pont.

Az (x,y) koordinátájú affin pont duálisa a −x/y meredekségű, −1/y tengelymetszetű egyenes. Ha a pont az origó [0:0:1], akkor duálisa az ideális egyenes [0:1:0]_L. Ha a pont az x tengely [x:0:1] pontja, akkor duálisa az [x:1:0]_L egyenes, vagyis a −1/x tengelymetszetű függőleges egyenes.

Ha egy pont vagy egyenes koordinátái homogén alakban vannak megadva, akkor a dualitás mátrix alakba írható:

$G={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}}$

aminek inverze

$G^{-1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{bmatrix}}.$

A G mátrix egyetlen valós sajátértéke az 1, ami az [1:0:0] sajátvektorhoz tartozik. Az [1:0:0]_L egyenes az y tengely, aminek duálisa az [1:0:0] pont, ami az x tengely ideális pontja.

Az y tengely koordinátái [1:0:0]_L, az x tengelyé [0:0:1]_L, és az ideális egyenesé [0:1:0]_L. A háromdimenziós térben a G által adott leképezés egy forgatás az x tengely körül, ami az y tengelyt a z tengelybe viszi. A projektív síkban ez egy projektív pont-pont, egyenes-egyenes, kúpszelet-kúpszelet transzformáció, ami az x tengelyt felcseréli az ideális egyenessel, és az y tengelyen Möbius-transzformációt visz véghez. Dualitásként G minden projektív egyenest és pontot a duálisával párosít össze.

Illeszkedéstartás

A g leképezés illeszkedéstartó:

Adva legyen az L₁ és az L₂ egyenes, amik a P pontban metszik egymást. Ekkor az egyenesek duálisai, gL₁ és gL₂ egyértelműen meghatározzák az g⁻¹P egyenest:

$g^{-1}(L_{1}\cap L_{2})=gL_{1}.gL_{2}$.

Adva legyenek a P₁ és a P₂ pontok, amikre illeszkedik az L egyenes, P₁.P₂ = L. Tudni akarjuk, hogy ekkor mi a g⁻¹P₁ és a g⁻¹P₂ egyenesek metszete. Ha g⁻¹P₁ ∩ g⁻¹P₂ = P, akkor

$g^{-1}P=g^{-1}(g^{-1}P_{1}\cap g^{-1}P_{2})=g(g^{-1}P_{1}).g(g^{-1}P_{2})$

$=P_{1}.P_{2}$

$=L$

és így

$g(g^{-1}P)=gL$

$P=gL$

∴$g(P_{1}.P_{2})=g^{-1}P_{1}\cap g^{-1}P_{2}$

Ha a pontokat affin koordinátákkal adjuk meg, akkor a rajtuk átmenő egyenes egyenlete

$[x_{1}:y_{1}:1].[x_{2}:y_{2}:1]=g^{-1}([x_{1}:y_{1}:1]\times [x_{2}:y_{2}:1])$

ahol is a vektoriális szorzatot úgy számítjuk, ahogy a háromdimenziós vektoroknál.

Ez az utolsó egyenlet az egyenesek metszéséből adódik a g leképezéssel:

$g[m_{1}:b_{1}:1]_{L}.g[m_{2}:b_{2}:1]_{L}=g^{-1}(g[m_{1}:b_{1}:1]_{L}\times g[m_{2}:b_{2}:1]_{L})$

$g(g[m_{1}:b_{1}:1]_{L}.g[m_{2}:b_{2}:1]_{L})=g[m_{1}:b_{1}:1]_{L}\times g[m_{2}:b_{2}:1]_{L}$

$[m_{1}:b_{1}:1]_{L}\cap [m_{2}:b_{2}:1]_{L}=g([m_{1}:b_{1}:1]_{L}\times [m_{2}:b_{2}:1]_{L})$

ahol g disztributív a vektoriális szorzatra: más szóval, g a vektoriális szorzat izomorfizmusa.

Tétel: A g dualitás a vektoriális szorzat izomorfizmusa, vagyis disztributív rá.

Bizonyítás: Adva legyen az A=(a:b:c) és a B=(d:e:f) pont; vektoriális szorzatuk $(a:b:c)\times (d:e:f)=(bf-ce:cd-af:ae-bd)$ de

$g(a:b:c)=(a:-c:b),$

$g(d:e:f)=(d:-f:e),$

$(a:-c:b)\times (d:-f:e)=(-ce+bf:bd-ae:-af+cd)$

$=g(bf-ce:cd-af:ae-bd)$.

Tehát

$g(A\times B)=gA\times gB$.

Q.E.D.

Források

• Albert, A. Adrian & Sandler, Reuben (1968), An Introduction to Finite Projective Planes, New York: Holt, Rinehart and Winston
• F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer, Berlin.
• Baer, Reinhold. Linear Algebra and Projective Geometry. Mineola NY: Dover (2005). ISBN 0-486-445656-8 
• Bennett, M.K.. Affine and Projective Geometry. New York: Wiley (1995). ISBN 0-471-11315-8 
• Projective Geometry: from foundations to applications. Cambridge: Cambridge University Press (1998). ISBN 0-521-48277-1 
• Casse, Rey (2006), Projective Geometry: An Introduction, New York: Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
• Cederberg, Judith N.. A Course in Modern Geometries. New York: Springer-Verlag (2001). ISBN 0-387-98972-2 
• Coxeter, H. S. M., 1995. The Real Projective Plane, 3rd ed. Springer Verlag.
• Coxeter, H. S. M., 2003. Projective Geometry, 2nd ed. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-40623-7.
• Coxeter, H. S. M.. Introduction to Geometry. New York: John Wiley & Sons (1969). ISBN 0471504580 
• Coxeter, H.S.M. & Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-600-X
• Dembowski, Peter (1968), Finite Geometries, Berlin: Springer Verlag
• Garner, Lynn E.. An Outline of Projective Geometry. New York: North Holland (1981). ISBN 0-444-00423-8 
• Greenberg, M.J., 2007. Euclidean and non-Euclidean geometries, 4th ed. Freeman.
• Hartshorne, Robin, 2009. Foundations of Projective Geometry, 2nd ed. Ishi Press. ISBN 978-4-87187-837-1
• Hartshorne, Robin, 2000. Geometry: Euclid and Beyond. Springer.
• Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S., 1999. Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea.
• D. R. Hughes and F. C. Piper, 1973. Projective Planes, Springer.
• Kárteszi, F. (1976), Introduction to Finite Geometries, Amsterdam: North-Holland, ISBN 0-7204-2832-7
• Mihalek, R.J.. Projective Geometry and Algebraic Structures. New York: Academic Press (1972). ISBN 0-12-495550-9 
• Ramanan, S. (1997. augusztus 1.). „Projective geometry”. Resonance 2 (8), 87–94. o, Kiadó: Springer India. DOI:10.1007/BF02835009. ISSN 0971-8044. 
• Samuel, Pierre. Projective Geometry. New York: Springer-Verlag (1988). ISBN 0-387-96752-4 
• Stevenson, Frederick W. (1972), Projective Planes, San Francisco: W.H. Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9
• Veblen, Oswald. Projective geometry. Ginn & Co. (1938). ISBN 978-1418182854