Norton-tétel

Norton-tétel szerint bármely, generátorokból és ellenállásokból álló kétpólus helyettesíthető egy áramgenerátorral, és a vele párhuzamosan kapcsolt belső ellenállással. A tétel nemcsak ellenállásokra, hanem egyetlen frekvenciát tartalmazó váltakozó áramú rendszerek esetén impedanciákra is alkalmazható. A Norton helyettesítő áramkör bármely, lineáris forrásokból és impedanciákból álló hálózatot leír, valamely adott frekvencián. Az áramkör egy ideális áramgenerátorból és a vele párhuzamosan kapcsolt ideális impedanciából (vagy nem reaktív áramkörök esetén ellenállásból) áll.

Norton tétele a Thévenin-tétel kiegészítése, melyet 1926-ban egymástól függetlenül ketten is leírtak, a Hause-Siemens kutatója, Hans Ferdinand Mayer és a Bell Laboratories mérnöke, Edward Lawry Norton. Valójában Mayer volt az, aki kettőjük közül a tételt publikálta, de Norton a Bell Laboratories belső műszaki értesítőjén keresztül ismertette a tételt.

Bármely, csak feszültséggenerátorokat, áramgenerátorokat és ellenállásokat tartalmazó villamos hálózat helyettesíthető Norton helyettesítő kapcsolással

A Norton helyettesítő kapcsolás számítása

A Norton helyettesítő áramkör egy I_No áramgenerátorból és a vele párhuzamosan kapcsolt R_No ellenállásból áll. A helyettesítő kapcsolás kiszámításához

1. Határozzuk meg az I_No Norton-áramot. Számítsuk ki az I_AB kimeneti áramot abban az esetben, ha a terhelést rövidzárral helyettesítjük (vagyis A és B közötti ellenállás 0). Ez az áram: I_No.
2. Határozzuk meg az R_No Norton-ellenállást. Abban az esetben, ha nincsenek egymástól függő források (vagyis az összes feszültséggenerátor és áramgenerátor független), az R_No Norton-impedancia a következőképpen határozható meg:

• Számítsuk ki a V_AB kimeneti feszültséget nyitott áramkör esetében (vagyis mikor az áramkör terhelő ellenállása végtelen). Ekkor R_No megegyezik V_AB és I_No hányadosával.

vagy

• Helyettesítsük a független feszültséggenerátorokat rövidzárakkal és a független áramgenerátorokat szakadással. A kimeneti kapcsokon mérhető teljes ellenállás az R_No Norton-impedancia.

Ha azonban az áramkörben nemcsak független források vannak, akkor az általánosabb módszert kell alkalmazni.

• Kapcsoljunk egy 1 A-es állandó áramot adó áramgenerátort az áramkör kimeneti kapcsaira, és számítsuk ki a kapcsain létrejövő feszültséget. Ennek a feszültségnek és az 1 A-es áramnak a hányadosa lesz az R_No Norton-impedancia. Ezt a módszert kell alkalmazni, ha az áramkör nem független forrásokat is tartalmaz, de akkor is használható a módszer, ha az áramkörben csak független források vannak.

Példa a Norton helyettesítő áramkörre

1. lépés: Az eredeti áramkör

2. lépés: A helyettesítő kimeneti áram kiszámítása

3. lépés: A helyettesítő ellenállás kiszámítása

4. lépés: A helyettesítő áramkör

A példában az I_teljes teljes áramot a következő képlet adja meg:

$I_{\mathrm {teljes} }={15\mathrm {V} \over 2\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \|(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}=5,625\mathrm {mA}$

A terhelésen átfolyó áram, az áramosztás szabálya szerint:

$I={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}\cdot I_{\mathrm {teljes} }$

$=2/3\cdot 5,625\mathrm {mA} =3,75\mathrm {mA}$

A kívülről látható helyettesítő ellenállás:

$R=1\,\mathrm {k} \Omega +2\,\mathrm {k} \Omega \|(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )=2\,\mathrm {k} \Omega$

Így a helyettesítő áramkör egy 3,75 mA-es áramgenerátor egy 2 kΩ-os ellenállással párhuzamosan kötve.

Átalakítás Thévenin-féle helyettesítő áramkörré

A Norton helyettesítő áramkörnek a Thévenin helyettesítő áramkörrel való kapcsolatát a következő egyenletek írják le:

$R_{Th}=R_{No}\!$

$V_{Th}=I_{No}R_{No}\!$

$V_{Th}/R_{Th}=I_{No}\!$

Lásd még

• Thévenin-tétel

Források

• BME: Thévenin- és Norton-tételek
• Origins of the equivalent circuit concept
• Norton's theorem at allaboutcircuits.com