Millman-tétel

A Millman-tétel (a párhuzamos generátorok elve) a villamosságtan egyik tétele, párhuzamos kapcsolásra visszavezethető elektromos áramkörök megoldásának hasznos módszere. Nevét Jacob Millmanról kapta, aki a tételt bebizonyította. Millman bizonyítása előtt egy hasonló módszert, a Tank-módszert alkalmazták.

Magyarázata

Párhuzamosan kapcsolt áramkörök

A Millman-tétel segítségével gyorsan kiszámítható egy csak soros és párhuzamos áramkörökből álló elektromos hálózat kijelölt kapcsain mérhető üresjárási feszültség.

Legyenek U_k a feszültséggenerátorok feszültségei és I_m az áramgenerátorok áramai.

Legyen R_i a generátorok nélküli ágak ellenállásai.

Legyen R_k a feszültséggenerátorok soros ellenállásai.

Legyen R_m az áramgenerátorok párhuzamos ellenállásai.

Ekkor Millman szerint az áramkör kijelölt kapcsain mérhető üresjárási feszültséget a következő egyenlet adja meg:

$U={\frac {\sum _{}{\frac {\pm U_{k}}{R_{k}}}+\sum _{}\pm I_{m}}{\sum _{}{\frac {1}{R_{k}}}+\sum _{}{\frac {1}{R_{i}}}+\sum _{}{\frac {1}{R_{m}}}}}$

A tétel bebizonyítható, ha az egyes ágaknak előállítjuk a Norton-féle áramgenerátoros helyettesítőképét. A soros ellenállású feszültséggenerátorokból ekkor párhuzamos ellenállású áramgenerátor lesz. Az eredő feszültség az Ohm-törvény és a Kirchhoff-törvények szerint a csomópontba befolyó áramok összegének és az áramkör eredő vezetőképességének a hányadosa. Az eredő vezetőképesség a párhuzamos kapcsolás miatt az egyes ágak vezetőképességeinek az összege. Az áramgenerátorokat az eredő vezetőképesség számolásakor dezaktiváljuk (kikapcsoljuk), ilyenkor szakadásként viselkednek. A fentiek alapján a számolás bármilyen olyan áramkörre elvégezhető, amelyet át tudunk alakítani feszültség- és áramgenerátorokból és ellenállásokból álló párhuzamos kapcsolássá. A számolásnál ügyelni kell a generátorok feszültség-, illetve áramirányaira (előre fel kell venni egy referencia-irányt). A képlet használható háromfázisú rendszerben a csillagpont-eltolódás számítására is.

Források

• Millman`s theorem, www.opamp-electronics.com
• Fodor György: Hálózatok és rendszerek analízise 2. (Műegyetemi Kiadó)