Neumann-sor

Neumann-sor alatt a

\sum _{n=0}^{\infty }T^{n}

alakú sorokat értik, ahol T egy operátor. Ez a mértani sor általánosításának tekinthető.

Az ilyen sorokat Carl Neumann matematikusról nevezték el, aki 1877-ben használta fel a potenciálelméletben. A Neumann-sort használják a funkcionálanalízisben és hasznos korlátos operátorok spektrálanalízisénél is. A Fredholm-integrálegyenletek megoldásának alapját szolgáló Liouville-Neumann-sor is a Neumann-sorra alapul.

Tulajdonságok

Tegyük fel, hogy T egy korlátos operátor az X normált téren. Ha a Neumann-sor konvergens az operátornormában, akkor Id – T invertálható, és az inverz maga a sor összege:

(\mathrm {Id} -T)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }T^{n}.

A konvergencia garantált, ha X Banach-tér és |T| < 1 az operátornormában. Vannak viszont további eredmények is, amelyek gyengébb feltételek mellett is garantálják a konvergenciát. Például elég, ha $T$ a $\;\|T^{n}\|<1\;$ feltételt teljesíti. Ekkor

{\begin{aligned}(I-T)^{-1}=&\left(I+T+T^{2}+\dots +T^{n-1}\right)\cdot \left(I-T^{n}\right)^{-1}\\=&\left(I+T+T^{2}+\dots +T^{n-1}\right)\cdot \sum \limits _{k=0}^{\infty }T^{kn}\end{aligned}}

A lineáris operátorok invertálhatósága

Legyen V Banach-tér, például $V:=\mathbb {R} ^{n}$ , és $A:V\to V$ korlátos operátor, például az $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ négyzetes mátrixszal megadott lineáris leképezés. Tudjuk, hogy A minden $\gamma >0$ skálázási tényezőre felírható, mint

A={\tfrac {1}{\gamma }}(I-T_{\gamma })\;

, ahol

\;T_{\gamma }:=I-\gamma \,A.

Ha most van olyan skálázási tényező, hogy $\|T_{\gamma }\|_{{}_{V\to V}}<1$ az indukált operátornormában, akkor A invertálható, és inverze megadható a Neumann-sor felhasználásával: