Mordell–Weil-tétel

A Mordell–Weil-tétel az algebrai geometria egy tétele. Azt állítja, hogy ha K számtest, és A Abel-varietás K fölött, akkor a K-racionális pontok A(K) csoportja végesen generált. A Mordell-tétel ennek egy speciális esete, amiben A elliptikus görbe, és K a racionális számok teste. Ez a tétel megoldja Poincaré 1908-ban felvetett problémáját. Louis Mordell 1922-ben bizonyította be. André Weil 1928-ban megjelent doktori dolgozatában általánosította Mordell tételét.

Állítás

Legyen K számtest, vagyis $\mathbb {Q}$ véges bővítése, és A Abel-varietás, azaz egy algebrai varietás, amelyen Abel-csoportstruktúra van., de amelyen lehetnek más műveletek is definiálva. Jelölje A(K) A-nak azokat a pontjait, amelyek koordinátái K-ból valók; ekkor A(K) végesen generált részcsoport A-ban.

A bizonyítás ötlete

Elliptikus görbékre először is a gyenge Mordell–Weil-tételt látják be, ami azt állítja, hogy ha $m\geq 2$ egész szám, akkor a $E(K)/mE(K)$ csoport véges lesz. Innen az erősítés egy magasságfüggvény bevezetésével és végtelen leszállással következik.

A bizonyítás mindkét részét továbbfejlesztették. Az elliptikus görbe érintő-húr módszerét már a 17. században ismerték. A leszálláshoz Galois-kohomologiát, magasságfüggvénynek egy alkalmas kvadratikus alakot használnak.

További kérdések

A tétel szerint az elliptikus görbék racionális pontjai véges rangúak. A Birch és Swinnerton-Dyer-sejtés eljárást adna ennek kiszámítására. A jelenlegi eljárások nem hatékonyak.

Általánosabban lehet egy algebrai görbe racionális pontjainak számát keresni. Mordell sejtése szerint ez a magasabb nemszámú görbékre is igaz. A sejtést időközben már belátták általánosabb formában is, ez a Faltings-tétel.

Ha A egy C görbe Jacob-varietása, akkor a C ∩ A(K) metszet pontszáma lehet-e véges? A Faltings-tétel szerint nem, kivéve, ha A = C. De a Raynaud által bizonyított Manin–Mumford-sejtés szerint csak akkor tartalmazhat végtelen sok torziópontot, ha C elliptikus görbe.

További információk

• Alice és Bob - 27. rész: Alice és Bob jövője

Források

• André Weil: L’arithmétique sur les courbes algébriques. Acta Math 52, 1929, S. 281–315.
• Louis Mordell: On the rational solutions of the indeterminate equation of the 3rd and 4th degrees. Proc. Cambridge Philosophical Society, Bd. 21, 1922, S. 179–192.
• Joseph Silverman: The arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1986, ISBN 0-387-96203-4.

• Jean-Pierre Serre: Lectures on the Mordell-Weil theorem. Vieweg, 1997, ISBN 978-3-528-28968-3.