Faltings-tétel

A Mordell-sejtés azt állította, hogy egy, a racionális test fölötti egynél nagyobb nemszámú görbének véges sok pontja van. Ennek egy általánosítása, hogy a racionális számok helyett annak véges bővítése is vehető. Faltings ezt az általánosítást látta be, ez a Faltings-tétel.

Jelölje a C $\mathbb {R}$ feletti görbe génuszát g! Ekkor C pontjainak száma a következő:

Ha g = 0, akkor a pontok száma vagy nulla, vagy végtelen
Ha g = 1, akkor vagy nincsenek pontok, vagy C elliptikus görbe, és racionális pontjai végesen generált Abel-csoportot alkotnak. Mazur torziótétele meghatározza ennek torziócsoportjának szerkezetét
Ha g > 1, akkor a Faltings-tétel szerint véges sok pontja van

Következményei

Faltings 1983-as cikke már felsorolta a tétel több következményét is:

A Mordell-sejtés, mint speciális eset
Az izogenitás tétele, hogy az izomorf Tate-modulú Abel-varietások génusza megegyezik
A Shafarevich-sejtés, hogy rögzített számtest felett a rögzített dimenziójú és polarizációs fokú Abel-varietásoknak véges sok izomorfia-osztálya van, ami jól redukálható helyek egy véges halmazán kívül

Parshin (1971) visszavezette a Mordell-sejtést a Shafarevich-sejtésre. A Faltings-tétel alkalmazásával a nagy Fermat-tétel egy gyengébb formája is belátható: egy adott n > 4-re az aⁿ + bⁿ = cⁿ egyenletnek véges sok megoldása lehet, mivel ezekre az n-ekre az xⁿ + yⁿ = 1 görbe génusza egynél nagyobb.

Általánosításai

A Mordell–Weil-tétel miatt a Faltings-tétel állítása átfogalmazható így: A C görbe metszete az A Abel-varietás Γ részcsoportjával véges. C vehető az Abel-varietás részvarietásának, és Γ a varietás véges rangú részcsoportjával. Ez volt a Mordell–Lang-sejtés, amit azóta szintén beláttak.

A Bombieri–Lang-sejtés szerint, ha X pszeudokanonikus varietás egy K számtest fölött, akkor X(K) nem Zariski-sűrű X-ben. Paul Vojta még általánosabb sejtéseket is javasolt.

Függvényterekre Manin (1963) és Grauert (1965) látta be. Coleman (1990) hibát, rést talált Manin gondolatmenetében.

Bizonyításai

Faltings eredeti bizonyítása a Tate-sejtés egy speciális esetére vezette vissza az állítást a Néron-modell és az algebrai geometria más eszközeinek felhasználásával. Paul Vojta diofantoszi approximációval oldotta meg; ezt a bizonyítást alakította elemire Enrico Bombieri.

Források

Bombieri, Enrico (1990). „The Mordell conjecture revisited”. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 17 (4), 615–640. o.
(1990) „Manin's proof of the Mordell conjecture over function fields”. L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série 36 (3), 393–427. o. [2011. október 2-i dátummal az eredetiből archiválva]. ISSN 0013-8584. (Hozzáférés: 2014. július 24.)
Cornell, Gary, Silverman, Joseph H.. Arithmetic geometry. New York: Springer (1986). ISBN 0-387-96311-1 → Contains an English translation of Faltings (1983)
Faltings, Gerd (1983). „Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern”. Inventiones Mathematicae 73 (3), 349–366. o. DOI:10.1007/BF01388432.
(1965) „Mordells Vermutung über rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper”. Publications Mathématiques de l'IHÉS (25), 131–149. o. ISSN 1618-1913.
Hindry, Marc, Silverman, Joseph H.. Diophantine geometry, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag (2000). ISBN 0-387-98981-1 → Gives Vojta's proof of Falting's Theorem.
S. Lang. Survey of Diophantine geometry. Springer-Verlag, 101–122. o. (1997). ISBN 3-540-61223-8
(1963) „Rational points on algebraic curves over function fields”. Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya 27, 1395–1440. o. ISSN 0373-2436.
(1922) „On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degrees”. Proc. Cambridge Philos. Soc. 21, 179–192. o.
Quelques conjectures de finitude en géométrie diophantienne, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1. Gauthier-Villars, 467–471. o. (1971)
Parshin, A. N. (2001) [1994], Mordell conjecture, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press