Maximum és minimum

A matematikában egy rendezett halmaz maximumán, illetve minimumán legnagyobb, illetve legkisebb elemét értjük. Előfordulhat, hogy nincs minimum vagy maximum. Ha egy halmaz minden nemüres részhalmazának van maximuma és minimuma, akkor a halmaz jólrendezett. A maximum és a minimum rövidítései rendre max és min. További jelölései 1 és 0, illetve $\top$ és $\bot$.

Általában

Ha $({\mathfrak {S}},\leq )$ lineárisan rendezett halmaz, akkor $\max {\mathfrak {S}}\in {\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}$ halmaz maximuma $\leq$ szerint, amennyiben $\forall x\in {\mathfrak {S}}$ elemre $x\leq \max {\mathfrak {S}}$, és $\min {\mathfrak {S}}\in {\mathfrak {S}}\,\,{\mathfrak {S}}$ halmaz minimuma $\leq$ szerint, amennyiben $\forall x\in {\mathfrak {S}}$ elemre $\min {\mathfrak {S}}\leq x$.

Unicitása

Bármely lineárisan rendezett halmaznak legfeljebb egy maximuma és egy minimuma van.

Legyen ${\mathfrak {m}}$ és ${\mathfrak {n}}\,{\mathfrak {S}}$ két maximuma. Ekkor $\forall x\in {\mathfrak {S}}$ elemre $x\leq {\mathfrak {m}}$, és $x\leq {\mathfrak {n}}$, következésképp ${\mathfrak {m}}\leq {\mathfrak {n}}$, és ${\mathfrak {n}}\leq {\mathfrak {m}}$, ahonnan következik, hogy ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}$. Ugyanígy látható be a minimum unicitása.

Kvázirendezés esetén előfordulhat, hogy több minimum, illetve maximum van, melyek asszociáltak, mivel teljesül, hogy $x\leq y\leq x$. Mivel itt a rendezési relációnak nem kell antiszimmetrikusnak lennie, azért nem lehet egyenlőségre következtetni.

A maximális, illetve minimális elem csak teljes rendezés esetén ekvivalens a maximummal és a minimummal. Erre példa az $\{2^{i}\mid i\in \mathbb {N} \}\cup \{3\}$ az oszthatósági reláció szerint rendezve. Itt 3 az egyetlen maximális elem, de nem maximum.

Egzisztenciája

Nem minden halmaznak létezik maximuma, és minimuma. Például a természetes számoknak nincs maximuma az arkhimédeszi axióma szerint, az egészeknek se maximuma, se minimuma, a nem pozitív egészeknek pedig minimuma nincs. Korlátos halmazok is léteznek, amiknek nincs maximuma, például a $\{{\frac {1}{n}}\,,2-{\frac {1}{n}}\,:\,n\in \mathbb {N} \}$.

Minden véges nemüres láncnak van minimuma és maximuma.

Ha egy kvázirendezett halmazban van két nem asszociált maximális elem, akkor a halmaznak nincs maximuma. Ha egy kvázirendezett halmazban van két nem asszociált minimális elem, akkor a halmaznak nincs minimuma.

Véges halmazokban

Tetszőleges nem üres, véges halmaznak van maximuma és minimuma. Tegyük fel, hogy ${\mathfrak {F}}$ egy nem üres, véges halmaz, aminek nincs maximuma. Legyen $x_{1}\,\,{\mathfrak {F}}$ egy eleme; $\{x_{1}\}\,$ maximuma nyilván $x_{1}\,$. Tegyük fel, hogy adott ${\mathfrak {F}}$-nek egy $n\,$ elemű ${\mathfrak {P}}$ részhalmaza, aminek $x_{n}\,$ a maximuma. Ekkor, mivel $x_{n}\,$ nem maximuma, létezik $x_{n+1}\in {\mathfrak {F}}$, hogy $x_{n+1}\leq x_{n}$. $x_{n+1}\,$ nyilván nem eleme ${\mathfrak {P}}$-nek, így ${\mathfrak {P}}\cup \{x_{n+1}\}$ $\,n+1$ elemű halmaz, aminek maximuma $\,x_{n+1}$. A teljes indukció tételét alkalmazva így tetszőleges nagy véges részhalmazát konstruáltuk meg ${\mathfrak {F}}$-nek, ami lehetetlen. Így léteznie kell ${\mathfrak {F}}$ maximumának. Minimumra ugyanígy.

Korlátos és zárt valós halmazokban

A valós számok tetszőleges korlátos és zárt részhalmazának van maximuma és minimuma.

Legyen ${\mathfrak {F}}\subset \mathbb {R}$ korlátos és zárt halmaz, és legyen ${\mathfrak {s}}\,\,{\mathfrak {F}}$ legkisebb felső korlátja, ami létezik $\mathbb {R}$ teljes rendezettsége és ${\mathfrak {F}}$. Tegyük fel, ${\mathfrak {s}}\notin {\mathfrak {F}}$. Ekkor ${\mathfrak {s}}\in \mathbb {R} \backslash {\mathfrak {S}}$, ami ${\mathfrak {F}}$ zártsága miatt nyílt halmaz, így létezik olyan $\varepsilon >0$, hogy $\forall \delta <\varepsilon \,:{\mathfrak {s}}-\delta \in \mathbb {R} \backslash {\mathfrak {S}}$, így ${\mathfrak {s}}$ nem legkisebb felső korlát. Ezzel ellentmondásra jutottunk, tehát ${\mathfrak {F}}\,$ legkisebb felső korlátja eleme ${\mathfrak {F}}$-nek, amiből adódik a maximum létezése. A minimum létezését hasonlóan láthatjuk be.

Kapcsolat a szuprémummal és az infimummal

Ha $x$ a $H$ halmaz legnagyobb eleme, akkor $x$ szuprémuma a $H$ halmaznak.

Ha a $H$ halmaznak nincs szuprémuma, akkor nincs maximuma sem.

Ha a $H$ halmaz szuprémuma nem eleme a halmaznak, akkor nincs maximuma.

Ha a $H$ halmaz szuprémuma eleme a halmaznak, akkor maximuma egyenlő a szuprémumával.

Hasonló a kapcsolat a minimum és az infimum között: Ha $x$ a $H$ halmaz legkisebb eleme, akkor $x$ infimuma a $H$ halmaznak.

Ha a $H$ halmaznak nincs infimuma, akkor nincs minimuma sem.

Ha a $H$ halmaz infimuma nem eleme a halmaznak, akkor nincs minimuma.

Ha a $H$ halmaz infimuma eleme a halmaznak, akkor minimuma egyenlő az infiumumával.

Teljesen rendezett halmazon

Teljes rendezés esetén minden véges nemüres részhalmaznak van maximuma és minimuma, így a

$\max(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})$

$\min(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})$

függvényértékek jóldefiniáltak. A definíció végezhető rekurzívan:

$\max(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=\max(x_{1},\max(x_{2},\dotsc ,x_{n}))$

$\min(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=\min(x_{1},\min(x_{2},\dotsc ,x_{n}))$

Tulajdonságai valós halmazokon

Komplexusműveletek

Két paraméter esetén teljesülnek a következők:

$\max(x_{1},x_{2})={\frac {x_{1}+x_{2}+|x_{1}-x_{2}|}{2}}$

$\min(x_{1},x_{2})={\frac {x_{1}+x_{2}-|x_{1}-x_{2}|}{2}}$

Ezzel könnyen belátható, hogy a maximum és aminimum folytonos függvények.

Három paraméter esetén, ahol $x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R}$:

$\max(x_{1},x_{2})+x_{3}=\max(x_{1}+x_{3},x_{2}+x_{3})$

$\min(x_{1},x_{2})+x_{3}=\min(x_{1}+x_{3},x_{2}+x_{3})$

Legyen $A$ és $B$ tetszőleges valós halmaz, melynek létezik maximuma és minimuma. Ekkor könnyen ellenőrizhetőek a következő azonosságok:

$\max \,A=-\min -A$

$\max \,\lambda A={\begin{cases}\lambda \max A&{\text{, ha }}\lambda >0\\\lambda \min A&{\text{, ha }}\lambda <0\end{cases}}$

$\max \,(A+B)=\max \,A+\max B$

Továbbá, ha $A,\,B$ minden eleme nemnegatív, és $q\,$ tetszőleges valós, akkor

$\max A^{q}=\left(\max A\right)^{q}$

$\max(AB)=\max A\cdot \max B$.

Mindezek a függvények folytonosak, hiszen folytonos függvények kompozíciója folytonos.

Nevezetes maximumok és minimumok

A következő két állítás ekvivalens a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséggel: Legyenek $\lambda _{1}\ldots \lambda _{n}$ és $c\,$ nem negatív valósok:

$\min \limits _{\prod \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}=c}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}:=\min\{\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\,:\forall (x_{i}>0)(\,\prod \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}=c)\}=n{\sqrt[{n}]{\frac {c}{\prod \limits _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}}}}$.

Tekintve a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget:

${\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{\frac {c}{\prod \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}}}}$, ami egyenlőséggel teljesül, amennyiben $x_{i}=x_{j}\,$ minden $1\leq i<j\leq n$ - re, ahonnan adódik.

A most belátott állítás ekvivalens következménye a következő:

$\max \limits _{\sum \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}=c}\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}=\left({\frac {c}{n}}\right)^{n}{\frac {1}{\prod \limits _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}}}$

Forrás

• Deiser, Oliver: Einführung in die Mengenlehre, 2. Auflage, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20401-6

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Größtes und kleinstes Element című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.