Marshall Hall-sejtés

A Marshall Hall-sejtés a négyzet- és a köbszámok távolságával foglalkozik. Azt állítja, hogy a nem hatodik hatványok esetén a négyzet- és a köbszámok egymástól bizonyos távolságra esnek. A Mordell-egyenlettel és az elliptikus görbék egész pontjaival kapcsolatban vetődött fel.

A sejtés gyenge formája:

C(n){\sqrt {n}}<|m^{2}-n^{3}|

ahol C(n) egy egynél kisebb exponenciális tényező, ami tart az egyhez, ha n → ∞. Ekkor minden ε > 0-ra

c(\varepsilon )n^{1/2-\varepsilon }<|m^{2}-n^{3}|.\,

A sejtés erős formájában a bal oldalt ${\sqrt {n}}$ konstansszorosa helyettesíti. Ezt a formát vetette fel eredetileg Marshall Hall 1970-ben.

A gyenge forma az abc-sejtés következménye.^[1] Más hatványokra általánosítva a Pillai-sejtéshez jutunk.

Jegyzetek

↑ Schmidt, Wolfgang M.. Diophantine approximations and Diophantine equations, 2nd, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 205–206. o. (1996). ISBN 3-540-54058-X

Források

Guy, Richard K.. Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag (2004). ISBN 978-0-387-20860-2
Hall, Jr., Marshall. The Diophantine equation x³ - y² = k, Computers in Number Theory, 173–198. o. (1971). ISBN 0-12-065750-3

További információk

[1], Noam Elkies oldala a problémáról
[2], Ismael Jimenez Calvo jó példái a sejtésre.

[1] Schmidt, Wolfgang M.. Diophantine approximations and Diophantine equations, 2nd, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 205–206. o. (1996). ISBN 3-540-54058-X

[1]