Lorentz-tényező

A Lorentz-tényező számos speciális relativitáselmélettel kapcsolatos fogalomban szerepel, mint az idődilatáció, hosszkontrakció és a relativisztikus tömeg. A Lorentz-tényező a fénysebesség és az aktuális sebesség közötti összefüggésről szól.

Jelölése γ.

A Lorentz-tényező Hendrik Lorentz holland fizikus után kapta a nevét.

$\gamma ={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}$

ahol:

$\beta ={\frac {v}{c}}$ a fénysebességhez viszonyított sebesség,

v az a sebesség, melyet abban a vonatkoztatási rendszerben figyelnek meg, ahol az idő: t

τ a ‘helyes’ idő

c a fénysebesség

Megközelítések

A Lorentz-tényező kifejtése Taylor-sorban:

$\gamma (\beta )=1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}+{\frac {3}{8}}\beta ^{4}+{\frac {5}{16}}\beta ^{6}+{\frac {35}{128}}\beta ^{8}+...$

A γ ≈ 1 + ¹/₂ β² közelítés kis sebességeken jelentkező relativisztikus hatás. Ez a közelítés 1% hibát jelent v < 0,4 c sebességnél (120 000 km/s), és 0,1%-on belüli a hiba 66 000 km/s sebesség alatt.

A két egyenlet:

${\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}$

$E=\gamma mc^{2}\,$

Kis sebességeken a Taylor-sor csonkított változata lehetővé teszi, hogy a speciális relativitást newtoni mechanikára redukálja:

γ ≈ 1 és γ ≈ 1 + ¹/₂ β², ekkor a newtoni egyenletekre redukálódik:

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$

$E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}$

A Lorentz-tényező inverz kifejezésben:

$\beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}$

Ennek sorba fejtett formája:

$\beta =1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\frac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\frac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\frac {5}{128}}\gamma ^{-8}+...$

Az első két kifejezés segítségével gyorsan kiszámíthatók a sebességek nagy γ értékektől. A β ≈ 1 - ¹/₂ γ⁻² közelítés 1% hiba alatt van γ > 2 esetén, és 0,1% -n belül, ha γ > 3,5.

Értékek

A Lorentz-tényező a sebesség függvényében. Ahogy a sebesség megközelíti a fénysebességet, a Lorentz-tényező végtelenhez tart.

Az alábbi táblázat a Lorentz-tényező értékét és annak reciprokát mutatja néhány esetben. A félkövérrel írt értékek pontosak.

Sebesség (c-ben mérve)	Lorentz-tényező	Reciproka
$\beta =v/c\,\!$	$\gamma \,\!$	$1/\gamma \,\!$
0.000	1.000	1.000
0.050	1.001	0.999
0.100	1.005	0.995
0.150	1.011	0.989
0.200	1.021	0.980
0.250	1.033	0.968
0.300	1.048	0.954
0.400	1.091	0.917
0.500	1.155	0.866
0.600	1.250	0.800
0.700	1.400	0.714
0.750	1.512	0.661
0.800	1.667	0.600
0.866	2.000	0.500
0.900	2.294	0.436
0.990	7.089	0.141
0.999	22.366	0.045
0.99995	100.00	0.010

Gyorsaság

Ha th r = β, akkor γ = ch r. Itt az r, a hiperbolikus szög, gyorsaságként ismert a relativitáselméletben. A Lorentz-transzformációt alkalmazva látható, hogy a gyorsaság additív, a sebesség viszont nem. Így a gyorsaság paraméter egy úgynevezett - fizikai modelleknél használatos - egyparaméteres csoportot alkot. Szuperlumináris mozgások tárgyalásánál γ–t néha Γ-val jelölik. A Lorentz-tényező szerepel az idődilatáció, a hosszkontrakció és a relativisztikus tömeg tárgyalásakor a speciális relativitáselméletben. A hossza rövidebbnek mérhető, mely a helyi hossz osztva γ-val. A részecskefizikában a gyorsaságot a következőképpen definiálják:)

$y={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {E+p_{L}}{E-p_{L}}}\right)$

Levezetés

Einstein speciális relativitáselméletének egyik alapvető posztulátuma az, hogy minden inercia rendszerben a megfigyelő ugyanazt a sebességet méri a fény esetében, függetlenül az ő relatív mozgásától.

Legyen két megfigyelő (A és B): Az első, A, állandó v sebességgel utazik a másik megfigyelő(B) vonatkoztatási rendszeréhez viszonyítva, ahol B megfigyelő nyugalomban van. A egy lézersugarat irányít “felfelé” ((merőlegesen az utazás vonalára). B perspektívájából a fény szögben érkezik be. Egy $t_{B}$, idő után, A $d=vt_{B}$ távot utazott be; a fény (szintén B szemszögéből) $d=ct_{B}$ távot tett meg egy bizonyos szögben. A fény $d_{t}$ komponense a Pitagorasz-tétel alapján:

$d_{t}={\sqrt {(ct_{B})^{2}-(vt_{B})^{2}}}$

$d_{t}=ct_{B}{\sqrt {1-{\left({\frac {v}{c}}\right)}^{2}}}$

A távolság, melyet A lát, a fény útja: $d_{t}=ct_{A}$

$ct_{A}=ct_{B}{\sqrt {1-{\left({\frac {v}{c}}\right)}^{2}}}$

majd egyszerűsítve:

$t_{A}=t_{B}{\sqrt {1-{\left({\frac {v}{c}}\right)}^{2}}}$

Kapcsolódó szócikkek

• Relativitáselmélet
• Általános relativitáselmélet
• Speciális relativitáselmélet
• Hendrik Lorentz
• Hosszkontrakció
• Idődilatáció
• Relativisztikus tömeg
• Részecskefizika
• Lorentz-transzformáció