Lineáris törtfüggvények

Lineáris törtfüggvénynek nevezik a komplex függvénytanban az ${\frac {az+b}{cz+d}}$ alakú függvényeket, ahol $ad-bc\neq 0$ , és a,b,c,d komplex számok. Az elemi matematikában (annak valós függvénytan c. részében) az a,b,c,d együtthatók valós számok.

A komplex számsíkon értelmezett lineáris törtfüggvények regulárisak és kölcsönösen egyértelműek. A kétszer kettes komplex mátrixok csoportjával izomorf háromszorosan tranzitív csoportot alkotnak a kompozícióra.

Csoport

A csoportművelet a kompozíció. Az egységelem az identitás. A ${\frac {az+b}{cz+d}}$ lineáris törtfüggvény inverze a ${\frac {dz-b}{-cz+a}}$ lineáris törtfüggvény. A csoportot generálják az eltolások, a forgatások, nyújtások, és az ${\frac {1}{z}}$ függvény:

${\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {bc-ad}{c^{2}(z+{\frac {d}{c}})}}+{\frac {a}{c}}$

Projektív szemlélet

A lineáris törtfüggvények a komplex projektív egyenes kettősviszonytartó transzformációinak tekinthetők. Így bizonyíthatók a következő tulajdonságok:

A csoport háromszorosan tranzitív
Csak az identitás hagy helyben három pontot
Kör vagy egyenes képe kör vagy egyenes

Legyen egy pontpár egyenesre szimmetrikus, ha tükörképek, és körre szimmetrikus, ha egymás inverz képe.

Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képe körre vagy egyenesre szimmetrikus

További tulajdonságok

Körbelsőt vagy félsíkot körbelsőre, körkülsőre, vagy félsíkra képeznek
- Ha egy lineáris törtfüggvény megtartja az irányítást, akkor körbelső körbelsőbe megy. Ha megváltoztatja, akkor körbelsőt körkülsőbe visz.
Körlap vagy félsík körlapra való reguláris és kölcsönösen egyértelmű leképezése lineáris törtfüggvény

Bizonyítások

Háromszoros tranzitivitás

Tétel: A lineáris függvények csoportja háromszorosan tranzitív.

Definíció: Négy komplex szám, $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ kettősviszonya a $(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{1}-z_{4}}}:{\frac {z_{2}-z_{3}}{z_{2}-z_{4}}}$ hányados.

Bizonyítás: Jelölje $S(z)$ a $(z,z_{2},z_{3},z_{4})$ kettősviszonyt. Legyen továbbá $S(z_{2})=1,$ $S(z_{3})=0,$ $S(z_{4})=\infty$ . Ekkor $S(z)$ lineáris transzformáció.

Hasonlóan, legyen $S_{1}(w)$ a $(w,w_{2},w_{3},w_{4})$ kettősviszony. Legyen továbbá $S_{1}(w_{2})=1,$ $S_{1}(w_{3})=0,$ $S(w_{4})=\infty$ . Ekkor $S_{1}(w)$ is lineáris transzformáció.

Tekintsük az $S_{1}^{-1}\circ S$ transzformációt. Ez lineáris függvény, és az adott $z_{i}$ pontokat az adott $w_{i}$ pontokba viszi.

Kör vagy egyenes képe

Tétel: Kör vagy egyenes képe kör vagy egyenes.

Bizonyítás: A lineáris törtfüggvények csoportját generálják az eltolások, a forgatások, nyújtások, és az ${\frac {1}{z}}$ függvény. Ezek a függvények kört vagy egyenest körbe vagy egyenesbe visznek át, ugyanis az eltolások, forgatások és nyújtások hasonlósági transzformációk, az ${\frac {1}{z}}$ függvény meg az invertálás konjugáltja, ezek pedig szintén kört vagy egyenest körbe vagy egyenesbe visznek át.

Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képe

Tétel: Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képe körre vagy egyenesre szimmetrikus.

Bizonyítás: Jelöljön $P$ és $P^{1}$ egy szimmetrikus pontpárt. Tekintsük a szimmetria alapkörét vagy tengelyét. A $P$ pontot tartalmazó egyenesek és körök, amelyek merőlegesen metszik az alapkört vagy a tengelyt, még egy közös ponttal bírnak: $P^{1}$ -gyel. A lineáris függvény szögtartó a kölcsönös egyértelműség és a regularitás miatt, ezért a $P,P^{1}$ pontpár képére ugyanezek az illeszkedési tulajdonságok teljesülnek. Így szimmetrikus pontpár képe szimmetrikus pontpár.

Irányítás és a körbelső képe

Tétel: Ha egy lineáris törtfüggvény megtartja az irányítást, akkor körbelső körbelsőbe megy. Ha megváltoztatja, akkor körbelsőt körkülsőbe visz.

Bizonyítás: Legyen $\gamma$ pozitív irányítású körvonal. Vegyünk $\gamma$ belsejében egy tetszőleges $w$ pontot. Jelölje $T(z)$ a lineáris törtfüggvényt, és tegyük fel, hogy a $\gamma$ körvonal $T(\gamma )$ képe körvonal.

Ha $\gamma$ belseje $T(\gamma )$ belsejébe képződik le, akkor $T(z)=w$ egy, a $\gamma$ körvonal belsejében levő $z$ pontra, és $T(z)$ -nek nincs pólusa a kör belsejében. Az argumentumelv szerint $T(\gamma )$ körülfordulási száma a tetszőleges $w$ -re 1.

Ha $\gamma$ belseje $T(\gamma )$ külsejébe képződik le, akkor $T(z)\neq w$ minden, a $\gamma$ körvonal belsejében fekvő $z$ pontra, és a $T(z)$ lineáris törtfüggvénynek van egy pólusa. Az argumentumelv szerint $T(\gamma )$ körülfordulási száma a tetszőleges $w$ -re -1.

Körök és félsíkok kölcsönösen egyértelmű reguláris leképezései

Tétel: Körlap vagy félsík csak lineáris törtfüggvénnyel képezhető le körlapra vagy félsíkra kölcsönösen egyértelmű és reguláris módon.

Bizonyítás: Legyen $z_{0}$ tetszőleges pont a körlapon vagy a félsíkon. Mindkét kört vagy félsíkot képezzük az egységkörre lineáris törtfüggvénnyel úgy, hogy $z_{0}$ és képe 0-ba menjen. Feltehető tehát, hogy $f(z)=w$ az egységkört önmagára képezi le, és a nulla képe nulla.