Leontief-inverz

A Leontief-inverz mátrixalgebrai fogalom, alkalmazási területe mégis szinte kizárólag a közgazdaságtanra, azon belül az input-output (IO) elemzések illetve a Leontief-technológia tárgykörére korlátozódik.

Egy $\mathbf {A}$ négyzetes mátrix Leontief-inverzét a következő képlettel számolhatjuk ki: $\left(\mathbf {E} -\mathbf {A} \right)^{-1}$, ahol $\mathbf {E}$ az egységmátrix.

Matematikai jelentősége

• Szerepet kap a következő vektoregyenlet megoldásában:

$\mathbf {x} =\mathbf {Ax} +\mathbf {y}$,

hiszen $\mathbf {x} =\left(\mathbf {E} -\mathbf {A} \right)^{-1}\mathbf {y}$.

• A Leontief-inverz megegyezik az $\mathbf {A}$ mátrix Neumann sorának határértékével (amennyiben az konvergens), azaz

$\left(\mathbf {E} -\mathbf {A} \right)^{-1}=\mathbf {E} +\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}+\cdots +\mathbf {A} ^{n}+\cdots$

• A Perron–Frobenius-tétel többek között nemnegativitásának feltételeivel is foglalkozik.

Közgazdaságtani jelentősége

A Leontief-inverz fontos szerepet kap Leontief input-output modelljében. Itt az $\mathbf {A}$ mátrix a ráfordítási együtthatók mátrixa, melyben a j. oszlop i. eleme azt mutatja meg, hogy a j sorszámú előállított termék egységnyi kibocsátásához hány egységet kell az i. termékből közvetlenül felhasználni a termelés során. Ebből következik, hogy a közgazdasági alkalmazásokban elsősorban nemnegatív mátrixok Leontief-inverzével foglalkoznak.

A nehézségek abból adódnak, hogy a termékek felhasznált mennyiségei egymással, és saját magukkal is körkörös kapcsolatban vannak. Egy termék előállításához például szükség lehet saját magából is valamekkora mennyiségre, vagy A termékhez fel kell használnunk valamennyit B-ből, de B-hez is elengedhetetlen egy kevés A és így tovább. Ezt a problémát oldja meg a Leontief-inverz, amely az ilyen tovagyűrűző kapcsolatrendszerek együttes, végső hatásait vonja össze egy mátrixba.

A Leontief-inverz elemei már nem csupán a közvetlen ráfordításokat tartalmazzák. j. oszlopa azt mutatja meg, hogy a j. termékből egységnyi többlet előállításához közvetlenül és közvetve hány egységgel kell az egyes termékek kibocsátását megnövelni. Ezen oszlop j. sora - tehát a saját magából szükséges mennyiség - már tartalmazza az 1 egységnyi végső kibocsátást is, ezért a diagonálisbeli elemek várhatóan 1-nél nem kisebb értéket vesznek fel. Ha pusztán a teljes ráfordításokra vagyunk kíváncsiak, használjuk az $\left(\mathbf {E} -\mathbf {A} \right)^{-1}-\mathbf {E}$ mátrixot.

A fenti értelmezés megköveteli, hogy a Leontief-inverz elemei is nemnegatívak legyenek, ehhez viszont gyakran nem elegendő a ráfordítási együtthatók nemnegativitása. Szükséges még az $\mathbf {A}$ mátrix produktivitása is, ami azt jelenti, hogy a tovagyűrűző hatások egy idő után „lecsillapodnak”, és nem implikálnak minden határon túl növekvő ráfordítást. Matematikailag ezt a Gale-féle produktivitási kritérium írja le: egy nemnegatív, négyzetes $\mathbf {A}$ mátrix produktív, ha létezik olyan $\mathbf {x} \geq {\boldsymbol {0}}$ vektor, hogy $\mathbf {x} >\mathbf {Ax}$, azaz létezik olyan bruttó kibocsátási vektor, ami meghaladja a hozzá közvetlenül szükséges ráfordítások mértékét.

Általánosításként lehet felfogni a dinamikus Leontief-mátrixot, mellyel többidőszakos IO modellekben találkozhatunk. Itt a tovagyűrűző hatások már nem csak termékek, hanem egymást követő időszakok között is érvényesülnek.

A Leontief-inverz kitüntetett szerepet kap az ÁKM-elemzésekben is.

Példa

Képzeljünk el egy gazdaságot ahol három terméket állítanak elő: műanyag babát, műanyagot és áramot. A termékek előállítása során is csak ezeket a termékeket használják fel alapanyagként, a táblázatban látható mennyiségben:

	Műanyag baba	Műanyag	Áram
Műanyag baba	0,05	0,1	0
Műanyag	1,5	0,4	0,2
Áram	0,8	1,1	0,01

Például 1 műanyag babához 1,5 egység műanyagra és 0,05 egység műanyag babára van szükség (utóbbi például úgy értelmezhető hogy minden 20. termék selejtes lesz, ezt újra beolvasztják műanyagnak). A ráfordítási együtthatók mátrixa:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0,05&0,1&0\\1,5&0,4&0,2\\0,8&1,1&0,01\end{bmatrix}}$.

A Leontief-inverz:

$\left(\mathbf {E} -\mathbf {A} \right)^{-1}={\begin{bmatrix}1,96&0,52&0,1\\8,62&4,93&1\\11,16&5,9&2,2\end{bmatrix}}$.

Látható, hogy minden eleme pozitív, ezért az $\mathbf {A}$ mátrix produktív volt.

Ha a célunk 100 db műanyag baba (nettó) előállítása, akkor ehhez közvetlenül és közvetetten 96 műanyag babát, 862 egység műanyagot, és 1116 egység áramot kell felhasználnunk.

Források

• Zalai Ernő: Matematikai közgazdaságtan