Lambert-sor

A Lambert-sor a matematikában egy

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.$

alakú sor. Formálisan átírható a következőképpen:

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}$

ahol az új sor együtthatói a_n és a konstans 1 függvény Dirichlet-konvolúciójával számítható ki:

$b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,$

Ez a sor a Möbius-féle megfordítási formulával invertálható, és a Möbius-transzformáció egy példája.

Példák

Mivel ez az utóbbi tipikus számelméleti összeg, majdnem minden multiplikatív számelméleti függvény egzaktul összegezhető, ha Lambert-sorként van megadva. Így például

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}$

ahol $\sigma _{0}(n)=d(n)$ az n szám pozitív osztóinak száma.

Magasabb rendű osztófüggvényekre

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}$

ahol $\alpha$ tetszőleges komplex szám, és

$\sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,$

az osztófüggvény.

Azok a Lambert-sorok, amelyekben a_n-nek trigonometrikus függvények, például a_n = sin(2n x), a Jacobi-féle théta-függvények logaritmikus deriváltjainak különféle kombinációiként értékelhetők ki.

A többi ismert Lambert-sor közé tartozik a $\mu (n)$ Möbius-függvényé:

$\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.$

A $\phi (n)$ Euler-függvény:

$\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.$

A $\lambda (n)$ Liouville-függvény:

$\sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}$

ahol a bal oldali összeg a Ramanudzsan-féle théta-függvényhez hasonló.

Alternatív alak

Elvégezve a $q=e^{-z}$ helyettesítést a sor egy másik, gyakran használt alakját kapjuk:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}$

ahol

$b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}a_{d}\,$

mint előbb. A Lambert-sor ebben az alakjában, $z=2\pi$ helyettesítéssel a Riemann-féle zéta-függvény definíciójában látható páratlan egész értékeire.

Alkalmazása

Az irodalomban különféle összegeket neveznek Lambert-sornak. Például, mivel $q^{n}/(1-q^{n})=\mathrm {Li} _{0}(q^{n})$ polilogaritmikus függvény, ezért minden

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\xi ^{n}\,\mathrm {Li} _{u}(\alpha q^{n})}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}\,\mathrm {Li} _{s}(\xi q^{n})}{n^{u}}}$

alakú sort nevezhetünk Lambert-sornak, feltéve, hogy a paraméterek megfelelők. Emiatt

$12\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-1}(q^{n})\right)^{\!2}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-5}(q^{n})-\sum _{n=1}^{\infty }n^{4}\,\mathrm {Li} _{-3}(q^{n}),$

ami teljesül minden komplex q-ra, ami nincs az egységkörön, és ez a Lambert-sorra vonatkozó azonosságnak tekinthető. Ez következik több, Ramanudzsan által kiadott azonosságból. Ramanudzsan munkásságának nagy részét Bruce Berndt dolgozta fel.

Források

• Berry, Michael V.. Functions of Number Theory. CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, 637–641. o. (2010). ISBN 978-0-521-19225-5 
• (1904) „Expansions of algebraic functions at singular points”. Proc. Am. Philos. Soc. 43, 164–172. o. JSTOR 983503. 
• * Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
• Sablon:Springer
• Weisstein, Eric W.: Lambert Series (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Lambert series című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.