Dirichlet-konvolúció

A Dirichlet-konvolúció a matematikában egy két operandusú művelet a számelméleti függvényeken. A német Peter Gustav Lejeune Dirichlet kezdte el felhasználni a számelméletben.

Definíció

Ha f és g számelméleti függvények, akkor Dirichlet-konvolúciójuk f ∗ g, ahol

${\begin{aligned}(f*g)(n)&=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)\\&=\sum _{ab\,=\,n}f(a)g(b)\end{aligned}}$

és az összegzés végigfut n pozitív osztóin, vagy ekvivalensen az (a, b) pozitív számpárokon, melyeknek szorzata n.

Tulajdonságai

A számelméleti függvények halmaza egységelemes kommutatív gyűrűt alkot a pontonkénti összeadásra és a Dirichlet-konvolúcióra. Ez a Dirichlet-gyűrű. A gyűrű egységeleme az az ε függvény, ami 1-ben 1-et, a többi helyen 0-t vesz fel. A gyűrű egységei, azaz invertálható elemei azok a számelméleti függvények, amelyek 1-ben nullától különböző értéket vesznek fel.

Speciálisan, a Dirichlet-konvolúció asszociatív:

(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h),

disztributív az összeadásra

f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h = (g + h) ∗ f,

kommutatív

f ∗ g = g ∗ f,

és egységeleme a fent definiált ε:

f ∗ ε = ε ∗ f = f.

Továbbá, ha f olyan számelméleti függvény, hogy f(1) ≠ 0, akkor van egy g számelméleti függvény, hogy 1=f ∗ g = ε. Ez az f függvény Dirichlet-inverze.

Két multiplikatív függvény konvolúciója multiplikatív, továbbá a multiplikatív függvény invertálhatók, és inverzük is multiplikatív.

Ha f teljesen multiplikatív, akkor 1=f(g ∗ h) = (fg) ∗ (fh), ahol a melléírás a pontonkénti szorzást jelöli. Két teljesen multiplikatív függvény Dirichlet-konvolúciója multiplikatív, de nem mindig teljesen multiplikatív.

Példák

Ezekben a képletekben

ε a Dirichlet-konvolúció identitásfüggvénye. (ε(1) = 1, a többi értéke 0.)

1 a konstans 1 minden n-re. (1(n) = 1.) Fontos megjegyezni, hogy 1 nem az identitás.

1_C, ahol $\scriptstyle C\subset \mathbb {Z}$ az indikátorfüggvények halmaza. (1_C(n) = 1 ha n ∈ C, 0 különben.)

Id az identitásfüggvény n. (Id(n) = n.)

Id_k a k. hatványfüggvény. (Id_k(n) = n^k.)

• 1 ∗ μ = ε   (a konstans 1 függvény Dirichlet-inverze a Möbius-függvény.) Ennélfogva
• g = f ∗ 1 akkor és csak akkor, ha 1=f = g ∗ μ   (a Möbius-féle megfordítási formula).
• λ ∗ μ = ε   ahol λ a Liouville-függvény.
• λ ∗ 1 = 1_Sq   ahol Sq = {1, 4, 9, ...} a négyzetszámok halmaza
• Id_k ∗ (Id_k μ) = ε
• σ_k = Id_k ∗ 1   a σ_k osztóösszeg-függvény
• σ = Id ∗ 1   az 1=σ = σ₁ függvény definíciója
• d = 1 ∗ 1   az 1=d(n) = σ₀ függvény definíciója
• Id_k = σ_k ∗ μ   a σ_k, σ, és d Möbius-inverziója
• Id = σ ∗ μ
• 1 = d ∗ μ
• d³ ∗ 1 = (d ∗ 1)²
• φ ∗ 1 = Id  
• J_k ∗ 1 = Id_k   A Jordan-függvény.
• (Id_sJ_r) ∗ J_s = J_{s + r}
• σ = φ ∗ d   Bizonyítás: Konvolváljuk 1-et az Id = φ ∗ 1 egyenlet két oldalával.
• Λ ∗ 1 = log   ahol Λ a von Mangoldt-függvény.

Dirichlet-inverz

Ha f számelméleti függvény, akkor Dirchlet-inverze rekurzívan számítható a definíció alapján.

n = 1 esetén:

(f ∗ g) (1) = f(1) g(1) = ε(1) = 1, így

g(1) = 1/f(1). Eszerint, ha f(1) = 0, akkor az inverz nem létezik.

n = 2-re:

(f ∗ g) (2) = f(1) g(2) + f(2) g(1) = ε(2) = 0,

g(2) = −1/f(1) (f(2) g(1)),

n = 3-ra:

(f ∗ g) (3) = f(1) g(3) + f(3) g(1) = ε(3) = 0,

g(3) = −1/f(1) (f(3) g(1)),

n = 4-re:

(f ∗ g) (4) = f(1) g(4) + f(2) g(2) + f(4) g(1) = ε(4) = 0,

g(4) = −1/f(1) (f(4) g(1) + f(2) g(2)),

Általában, n > 1-re:

$g(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{\stackrel {d\,\mid \,n}{d<n}}f\left({\frac {n}{d}}\right)g(d).$

Mivel a számítás során csak f(1)-gyel kell osztani, azért az invertálhatóság egyetlen kritériuma az, hogy f(1) ≠ 0.

Táblázat ismert szám, elméleti függvények Dirichlet-inverzéről:

Számelméleti függvény	Dirichlet-inverz
Konstans 1 függvény	μ Möbius-függvény
$n^{\alpha }$	$\mu (n)\,n^{\alpha }$
λ Liouville-függvény	μ| abszolút értéke

Dirichlet-sor

Ha f számelméleti függvény, akkor Dirichlet-sorának generátorfüggvénye

$DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$

azokra a komplex s argumentumokra, amelyekre a függvény konvergál. A Dirichlet-sorok szorzása illeszkedik a számelméleti függvények konvolúciójához:

$DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,$

minden olyan s-re, amire mindkét bal oldali sor konvergál, és legalább az egyik abszolút konvergens. Mindkét sor egyszerű konvergenciája ugyanis nem biztosítja a jobb oldal konvergenciáját. Ez a konvolúciótétel analogonja, ha a Dirichlet-sort megfeleltetjük a Fourier-sornak.

Források

• * Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
• Chan Heng Huat. Analytic Number Theory for Undergraduates, Monographs in Number Theory. World Scientific Publishing Company (2009). ISBN 981-4271-36-5 
• Hugh L. Montgomery. Multiplicative number theory I. Classical theory, Cambridge tracts in advanced mathematics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 38. o. (2007). ISBN 0-521-84903-9 

• „A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion”, 13–23. oldal 
• „Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer”, 66–80. oldal 
• „The number of unitary divisors of an integer”, 879–880. oldal 
• „On an integers' infinitary divisors”, 395–411. oldal 
• „Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer”, 373–383. oldal 
• (2003) „The Möbius function: generalizations and extensions”. Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang) 6, 77–128. o. 
• Unitarism and Infinitarism, 2004. [2015. február 22-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. november 20.)