Lépcsős függvény

Lépcsős függvényeknek hívjuk az olyan valós függvényeket, amelyek felírhatóak intervallumok indikátorfüggvényének (karakterisztikus függvény) lineáris kombinációjaként.

Más szóval: a lépcsős függvények szakaszosan konstans függvények, melyek csak végesen sok részből állnak.

Példa a lépcsős függvényre (vörös vonal), itt a lépcsős függvény jobbra folytonos

Definíciók, következtetések

$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ függvényt lépcsős függvénynek hívják, ha felírható, mint:

$f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)\,$ az összes $x$ valós számra

ahol $n\geq 0,$ $\alpha _{i}$ valós számok, $A_{i}$ intervallumok, és $\chi _{A}\,$ az $A$ indikátorfüggvénye:

$\chi _{A}(x)={\begin{cases}1&{\mbox{ha }}x\in A,\\0&{\mbox{ha }}x\notin A.\\\end{cases}}$

Ebben a definícióban az $A_{i}$ intervallumoknak a következő két tulajdonsága van:

1. Az i-edik és j-edik intervallumnak nincs közös része: $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$, ha $i\neq j$
2. Az intervallumok uniója a valós számok halmaza, $\cup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .$

Példák

Egységugrás-függvény

• A konstans függvény egy triviális példája a lépcsős függvénynek. Itt csak egy intervallum van:

$A_{0}=\mathbb {R} .$

• Az egységugrás (Heaviside-függvény) H(x) egy fontos lépcsős függvény .
• A négyszögfüggvény a következő egyszerű lépcsős függvény. A négyszögfüggvény egy normalizált „boxcar” függvény, mely a teljes valós számtartományban zérussal egyenlő, kivéve egy intervallumot, ahol konstans értéke van. Az elektronikában használják egységimpulzusként.

Négyszögfüggvény

Ellenpéldák

Az egészrész függvény nem lépcsős függvény, mivel végtelen sok intervallummal rendelkezik. Egyes szerzők ezt is lépcsős függvénynek hívják, azzal a megjegyzéssel, hogy végtelen sok intervallummal rendelkezik.

Tulajdonságok

• Két lépcsős függvény összege és szorzata is lépcsős függvény. Egy lépcsős függvény szorzata egy számmal lépcsős függvény.
• A lépcsős függvények értékei csak véges számok lehetnek. Ha az $A_{i},$ $i=0,1,\dots ,n$ intervallumoknak a fent definiált lépcsős függvényben nincsenek közös részeik, és $\alpha _{i}$ valós számok, akkor $f(x)=\alpha _{i}$ minden $x\in A_{i}$-re igaz.

• Egy $\textstyle f=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}\,$ lépcsős függvény Lebesgue-integrálja, $\textstyle \int \!f\,dx=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),\,$, ahol $\ell (A)$ az $A$ intervallum hossza, és feltételezzük, hogy $A_{i}$ véges hosszúságú.

Valójában ez az egyenlőség lehet az első lépés egy Lebesgue-integrál létrehozására.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Step function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Irodalom

• Reiman István: Matematika. Budapest: Typotex. 2011. ISBN 978 963 279 300 9  
• F. C. KINGMAN, S. J. TAYLOR: Introduction to Measure and Probability. (hely nélkül): Cambridge. 1966.  
• S. LANG: Real and Functional Analysis. (hely nélkül): Springer-Verlag. 1993.  
• W. RUDIN: Real and Complex Analysis. (hely nélkül): Collier Macmillan. 1968.