Kvantumszám

Kvantumszámnak hívjuk bármely megmaradó mennyiség kvantummechanikai operátorának olyan sajátértékét, ami egy adott kvantummechanikai rendszer valamely állapotát jellemzi, azaz ott ennek határozott értéke van. A kvantumszámok rendszere más és más az egyes kvantumrendszerekben. Például a hidrogénatom esetén a főkvantumszám az energia, a mellékkvantumszám az impulzusmomentum sajátállapotait jellemzi.

Hány kvantumszám szükséges?

Hány kvantumszám szükséges egy rendszer leírására? Erre nem lehet általános választ adni, minden rendszer esetén egyedileg kell ezt a kérdést a rendszer teljes analízisével megválaszolni. Egy rendszer dinamikáját a H Hamilton-operátor határozza meg. Ennek sajátértéke az energia az egyik kvantumszám. Minden olyan O operátor esetére, ami felcserélhető a Hamilton-operátorral (azaz kielégíti az OH = HO feltételt), szintén van egy-egy kvantumszám. Ez az összes kvantumszám, amivel egy rendszer rendelkezhet. Meg kell tehát találni az összes, egymástól független, a Hamilton-operátorral és egymással is – hogy egyszerre mérhetőek legyenek – felcserélhető operátort. Gyakran több ilyen operátorkészlet is található, ilyenkor a konkrét helyzettől függ, melyik ott a legalkalmasabb a kvantumrendszer leírására.

Egyelektronos atom

A kvantumszámok leggyakrabban vizsgált rendszere az egyelektronos atom esete. Nemcsak azért, mert hasznos a kémiában, mint a legfontosabb konstrukció a periódusos rendszer, a vegyérték és egy sor más tulajdonság mögött, de azért is, mert megoldható és realisztikus probléma, és így számos tankönyvben helyet kap.

A nemrelativisztikus kvantummechanikában a Hamilton-operátor az elektron kinetikus energiájából és az atommag és az elektron közötti Coulomb-erőből származó potenciális energiájából áll. A kinetikus energia elkülöníthető egy az elektron mag körüli J impulzusmomentumától függő részre és a maradékra. Mivel a potenciál gömbszimmetrikus, ezért a Hamilton-operátor felcserélhető J²-tel. J² maga felcserélhető az impulzusmomentumvektor bármelyik komponensével, a konvenció szerint ezek közül J_z-t választjuk (a komponensek egymással nem felcserélhetők). Kizárólag ezek az egymással kölcsönösen felcserélhető operátorok, ezért három kvantumszám van:

• A főkvantumszám (n = 1, 2, 3,…) jelöli H' – J²-es része nélküli – sajátértékeit. A szám növekedése az elektron és a mag távolságát is jelzi, ezért azt mondjuk, hogy a különböző főkvantumszámhoz tartozó elektronok különböző elektronhéjon vannak.
• A mellékkvantumszám (l = 0, 1 … n‒1) (amit azimutális kvantumszám és pályakvantumszám néven is ismerünk) adja meg az állapot impulzusmomentumát az J² = l(l+1) (h/2π)² összefüggésen keresztül, ahol h a Planck-állandó. A kémiában ez nagyon fontos kvantumszám, mivel ez adja meg az atompálya alakját és erős hatással van a kémiai kötésekre és a kötésszögre. Az l=0,1,2,3,… pályákat rendre s,p,d,f,… pályáknak hívjuk.
• A mágneses kvantumszám (m_l = ‒l, ‒l+1 … 0 … l‒1, l) J_z=m_lh/2π sajátértéke.
• A spinkvantumszámot (m_s = ‒1/2 vagy +1/2) kísérletileg mutatta ki a spektroszkópia, elméletileg helyesen kezelni a relativisztikus kvantummechanika tudja, ahol a spin és pályamomentum összege a valódi megmaradó mennyiség, a teljes impulzusmomentum.

A következőképpen összegezhetjük az atomi elektron állapotát leíró kvantumszámokat:

név	jelölés	jelentése	megengedett értéke	példák az értékére
főkvantumszám	$n\,\!$	héj	$1\leq n\,\!$	$n=1,2,3...\,\!$
mellékkvantumszám	$\ell \,\!$	alhéj	$0\leq \ell \leq n-1\,\!$	$n=3\,\!$ esetén: $\ell =0,1,2\,(s,p,d)\,\!$
mágneses kvantumszám	$m_{\ell }\,\!$	energiaeltolódás	$-\ell \leq m_{\ell }\leq \ell \,\!$	$\ell =2\,\!$ esetén: $m_{\ell }=-2,-1,0,1,2\,\!$
spinkvantumszám	$m_{s}\,\!$	spin	$-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}},{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,\!$	kizárólag: $-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}},{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,\!$

Példa: A fluor (F) atom legkülső, vegyértékelektronjának (a 2p atompályán) kvantumszámai: n = 2, l = 1, m_l = 1, vagy 0, vagy ‒1, m_s = ‒1/2 vagy 1/2.

Megjegyezzük, hogy a molekulapályák teljesen más kvantumszámokat igényelnek, mivel a Hamilton-operátoruk és annak szimmetriái egészen mások.

Elemi részecskék

Az elemi részecskéknek sok, gyakran belsőnek mondott, kvantumszáma van. Az elemi részecskék a standard modell kvantumállapotai, ezért ezek a kvantumszámok hasonló viszonyban vannak a standard modell Hamilton-operátorával, mint az atomi kvantumszámok az atom Hamilton-operátorával. Azaz minden kvantumszám egy-egy szimmetriát és a hozzá kapcsolódó megmaradó mennyiséget jelöl. A kvantumtérelméletben hasznos megkülönböztetni a téridő szimmetriáit a belső szimmetriáktól.

Tipikus téridő szimmetriához kötődő kvantumszámok a spin (a forgási szimmetriához kapcsolódik), paritás, C-paritás és T-paritás (a Poincaré-szimmetriához kapcsolódnak). Tipikus belső szimmetriához kötődő kvantumszámok a leptonszám, barionszám vagy az elektromos töltés.

Hasznos megjegyezni egy zavaró momentumot. A legtöbb megmaradó mennyiség additív, és így elemi részecskék kölcsönhatásaiban a kvantumszámok összege ugyanaz kell legyen a reakció előtt és után. Vannak azonban – általában paritásoknak hívott – multiplikatív kvantumszámok is, ezeknek a szorzata marad meg, nem az összege. A multiplikatív kvantumszámok olyan szimmetriához tartoznak, ahol a szimmetriatranszformáció kétszeri alkalmazása "nem csinál semmit", azaz visszaviszi a rendszert az eredeti állapotába. Az ilyen transzformációkat tükrözéseknek hívjuk, és a csoportelméletben a Z₂ csoport példái.

Lásd még

• Bohr-féle atommodell
• Részecskefizika
• Noether-tétel

További információk

Atomfizika

• Quantum Numbers and Electron Configurations
• Quantum numbers for the hydrogen atom
• Lecture notes on quantum numbers

Részecskefizika

• The particle data group