Ugrás a tartalomhoz

Közös eloszlás

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűségszámításban a közös eloszlás egy lehetőség arra, hogy több alacsonyabb, általában egydimenziós valószínűségi mértékből konstruáljon egy magasabb dimenziós valószínűségeloszlást. Erre példa a multinomiális eloszlás. Mértékelméleti szempontból képmértékről van szó. Így valószínűségi változók közös általánosítása a valószínűségi változók eloszlásának.

Definíció

[szerkesztés]

Adva legyen egy valószínűségi mező, egy indexhalmaz, valószínűségi változók és az eseményterek. Legyen

az alaphalmazok Descartes-szorzata, továbbá

a megfelelő szorzat-σ-algebra. Ekkor az téren értelmezett

valószínűségi mérték definiálva van minden halmazra. Ez az valószínűségi változók közös eloszlása.

Példa

[szerkesztés]

Legyen valószínűségi mező, ahol

diszkrét egyenletes valószínűséggel az alaphalmazon. Ez megfelel egy szabályos kockával való dobásnak. Az első valószínűségi változó

,

ami két kockadobás összege és leképezi az halmazt az halmazra, továbbá .

A másik valószínűségi változó

és arról szolgáltat információt, hogy az első dobott szám páros-e. Az halmazt -re képezi, valamint .

A közös eloszlás valószínűségi mérték a halmazon, ellátva a szorzat-σ-algebrával. A valószínűségi mértéket elég a generátorokra megadni, itt tehát az típusú eseményekre. Az egyszerűség kedvéért itt csak néhány valószínűséget adunk meg.

.

Egyértelműség

[szerkesztés]

A valószínűségi változók eloszlását nem közvetlenül a szorzat-σ-algebrák szorzatára definiálják, hanem csak a mértékterek σ-algebráinak egyenkénti szorzataira. Mivel azonban ez generálja a szorzat-σ-algebrát, a fenti definíció egyértelműen kiterjeszthető a teljes szorzat-σ-algebrára.

Kapcsolat a függetlenséggel

[szerkesztés]

Valószínűségi változók közös eloszlásával vizsgálható függetlenségük. Teljesülnek a következők:

  • Az valószínűségi változók pontosan akkor függetlenek, ha közös eloszlásuk megegyezik a szorzatmértékkel, tehát
  • Ennek közvetlen következménye, hogy ha a közös eloszlásfüggvény megegyeik az eloszlásfüggvények szorzatával, akkor az is ekvivalens a függetlenséggel.

Akárhány valószínűségi változó esetén minden véges részhalmazt vizsgálni kell a függetlenségre, ami megtehető a fenti kritériumok valamelyikével.

Alkalmazások

[szerkesztés]

A közös eloszlásokat a többdimenziós valószínűségeloszlásokkal együtt használják a peremeloszlásokra vett feltételes eloszlások vizsgálatára. A feltételes eloszlás modellezi az előzetes tudást a valószínűségi változókról.

Származtatott fogalmak

[szerkesztés]

Közös eloszlásfüggvény

[szerkesztés]

Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényéhez hasonlóan értelmezhető a közös eloszlás. Ez egy

függvény, melynek definíciója
esetén.

Gyakran csak jelöli.

Közös sűrűségfüggvény

[szerkesztés]

A közös sűrűségfüggvény, hasonlóan a valószínűségi változó sűrűségfüggvényéhez, ha létezik, akkor egy függvény, amire teljesül, hogy

Itt az indexhalmaz .

Peremeloszlás

[szerkesztés]

A valószínűségi vektorváltozókhoz hasonlóan a közös eloszlások peremeloszlásai is értelmezhetők alacsonyabb dimenziós vetületként. Speciális esetként visszakapjuk az eredeti valószínűségi változók eloszlásait is. als

.

A peremeloszlások eloszlásfüggvényei a peremeloszlások, sűrűségfüggvényei a peremsűrűségek.

Források

[szerkesztés]
  • Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
  • Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 

Fordítás

[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.