Közös eloszlás
A valószínűségszámításban a közös eloszlás egy lehetőség arra, hogy több alacsonyabb, általában egydimenziós valószínűségi mértékből konstruáljon egy magasabb dimenziós valószínűségeloszlást. Erre példa a multinomiális eloszlás. Mértékelméleti szempontból képmértékről van szó. Így valószínűségi változók közös általánosítása a valószínűségi változók eloszlásának.
Definíció
[szerkesztés]Adva legyen egy valószínűségi mező, egy indexhalmaz, valószínűségi változók és az eseményterek. Legyen
az alaphalmazok Descartes-szorzata, továbbá
a megfelelő szorzat-σ-algebra. Ekkor az téren értelmezett
valószínűségi mérték definiálva van minden halmazra. Ez az valószínűségi változók közös eloszlása.
Példa
[szerkesztés]Legyen valószínűségi mező, ahol
diszkrét egyenletes valószínűséggel az alaphalmazon. Ez megfelel egy szabályos kockával való dobásnak. Az első valószínűségi változó
- ,
ami két kockadobás összege és leképezi az halmazt az halmazra, továbbá .
A másik valószínűségi változó
és arról szolgáltat információt, hogy az első dobott szám páros-e. Az halmazt -re képezi, valamint .
A közös eloszlás valószínűségi mérték a halmazon, ellátva a szorzat-σ-algebrával. A valószínűségi mértéket elég a generátorokra megadni, itt tehát az típusú eseményekre. Az egyszerűség kedvéért itt csak néhány valószínűséget adunk meg.
-
-
-
- .
Egyértelműség
[szerkesztés]A valószínűségi változók eloszlását nem közvetlenül a szorzat-σ-algebrák szorzatára definiálják, hanem csak a mértékterek σ-algebráinak egyenkénti szorzataira. Mivel azonban ez generálja a szorzat-σ-algebrát, a fenti definíció egyértelműen kiterjeszthető a teljes szorzat-σ-algebrára.
Kapcsolat a függetlenséggel
[szerkesztés]Valószínűségi változók közös eloszlásával vizsgálható függetlenségük. Teljesülnek a következők:
- Az valószínűségi változók pontosan akkor függetlenek, ha közös eloszlásuk megegyezik a szorzatmértékkel, tehát
- Ennek közvetlen következménye, hogy ha a közös eloszlásfüggvény megegyeik az eloszlásfüggvények szorzatával, akkor az is ekvivalens a függetlenséggel.
Akárhány valószínűségi változó esetén minden véges részhalmazt vizsgálni kell a függetlenségre, ami megtehető a fenti kritériumok valamelyikével.
Alkalmazások
[szerkesztés]A közös eloszlásokat a többdimenziós valószínűségeloszlásokkal együtt használják a peremeloszlásokra vett feltételes eloszlások vizsgálatára. A feltételes eloszlás modellezi az előzetes tudást a valószínűségi változókról.
Származtatott fogalmak
[szerkesztés]Közös eloszlásfüggvény
[szerkesztés]Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényéhez hasonlóan értelmezhető a közös eloszlás. Ez egy
- függvény, melynek definíciója
- esetén.
Gyakran csak jelöli.
Közös sűrűségfüggvény
[szerkesztés]A közös sűrűségfüggvény, hasonlóan a valószínűségi változó sűrűségfüggvényéhez, ha létezik, akkor egy függvény, amire teljesül, hogy
Itt az indexhalmaz .
Peremeloszlás
[szerkesztés]A valószínűségi vektorváltozókhoz hasonlóan a közös eloszlások peremeloszlásai is értelmezhetők alacsonyabb dimenziós vetületként. Speciális esetként visszakapjuk az eredeti valószínűségi változók eloszlásait is. als
- .
A peremeloszlások eloszlásfüggvényei a peremeloszlások, sűrűségfüggvényei a peremsűrűségek.
Források
[szerkesztés]- Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6
- Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2
Fordítás
[szerkesztés]Ez a szócikk részben vagy egészben a Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.