Kétoldali Laplace-transzformáció

A matematikában a kétoldali Laplace-transzformáció egy integráltranszformáció, ami ekvivalens a valószínűségszámítás momentum-generátorfüggvényével. Közel áll a közönséges vagy egyoldali Laplace-transzformációhoz, a Fourier-transzformációhoz és a Mellin-transzformációhoz. Ha az ƒ(t) függvény a valós számokon értelmezett, valós vagy komplex értékű függvény, akkor kétoldali Laplace-transzformáltja

${\mathcal {B}}\{f(t)\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Ez az integrál többnyire improprius, ami akkor és csak akkor konvergál, ha minden

$\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt$

is konvergál. Nincs általánosan használt jelölés erre a transzformációra; cikkünkben a ${\mathcal {B}}$ jelet használjuk, ami a bilateralis (kétoldali) szóra utal. Egyes szerzők a transzformációt az

${\mathcal {T}}\{f(t)\}=s{\mathcal {B}}\{f(t)\}=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

alakban értelmezik. A tiszta matematikában t bármilyen változó lehet, és a Laplace-transzformációkat a differenciáloperátorok tanulmányozására használják.

A természettudományos és mérnöki alkalmazásokban t gyakran az időt jelenti, ƒ(t) pedig jel, vagy hullámforma. A jeleket szűrők transzformálják, amelyek matematikai operátorokként jelennek meg, de oksági korlátozással. Ez azt jelenti, hogy t₁ egy értékére a kimenet nem függhet ƒ(t₂) értékétől, ha t₂ > t₁.

A populációökológiában t gyakran térbeli elhelyezkedést reprezentál.

Ha ƒ(t) az idő függvénye, akkor ƒ(t) a jel időtartománybeli reprezentációja, míg F(s) az s-tartománybeli vagy Laplace-tartománybeli reprezentáció. Az inverz transzformáció a jel szintézisét írja le, mint különféle hullámhosszú komponensek összege, ezzel szemben maga a transzformáció a jel komponensekre bontását jelöli.

Kapcsolat a többi transzformációval

Ha u(t) a Heaviside-függvény (nulla, ha t negatív, fél, ha t nulla, és egy, ha t pozitív), akkor az ${\mathcal {L}}$ Laplace-transzformáció definiálható a kétoldali Laplace-transzformációval:

${\mathcal {L}}\{f(t)\}={\mathcal {B}}\{f(t)u(t)\}.$

Másrészt

${\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)+{\mathcal {L}}\{f(-t)\}(-s),$

így mindkét Laplace-transzformáció kifejezhető a másikkal.

A Mellin-transzformáció definiálható, mint

${\mathcal {M}}\{f(t)\}(s)={\mathcal {B}}\{f(e^{-x})\}(s),$

és megfordítva

${\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)={\mathcal {M}}\{f(-\ln x)\}(s).$

A Fourier-transzformáció

${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )=F(\omega ).$

Meg kell jegyeznünk, hogy a Fourier-transzformáció definíciói különböznek, így egyes szerzők az előző helyett ezt használják:

${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)$

A kétoldali Laplace-transzformáció is kifejezhető Fourier-transzformációval:

${\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)={\mathcal {F}}\{f(t)\}(-is).$

Általában az összes valós számra definiálják a Fourier-transzformációt, de előfordul, hogy egy $a<\Im (s)<b$ sávon értelmezik, ami nem biztos, hogy tartalmazza a valós tengelyt.

A folytonos ƒ(x) valószínűségi sűrűségfüggvény momentum-generátorfüggvénye kifejezhető, mint ${\mathcal {B}}\{f\}(-s)$.

Tulajdonságai

Tulajdonságai hasonlóak az egyoldali Laplace-transzformációhoz, az alábbi különbségekkel:

A Laplace-transzformációk tulajdonságai

	Időtartomány	egyoldali-'s' tartomány	kétoldali-'s' tartomány
Derivált	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	$sF(s)\$
Második derivált	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$	$s^{2}F(s)\$

A kétoldali Laplace-transzformáció ekvivalens a null kezdeti feltételekkel. Emiatt alkalmasabb a differenciálegyenletek átviteli függvényeinek számítására, vagy egy egyszerű partikuláris megoldás keresésére.

Konvergenciatartomány

A kétoldali konvergenciafeltételei bonyolultabbak, mint az egyoldalié, emiatt a konvergenciatartomány is kisebb.

Ha f lokálisan integrálható (vagy általánosabban, lokálisan korlátos megváltozású egy Borel-mérték szerint), akkor f Laplace-transzformáltja, F(s) konvergál, ha az

$\lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt$

határérték létezik. A Laplace-transzformált abszolút konvergens, ha az

$\int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt$

határérték létezik. Általában a Laplace-transzformáltat feltételesen konvergensnek tekintik, azaz csak az első teljesül.

Az F(s) konvergenciatartományára igaz, hogy alakja Re(s) > a vagy Re(s) ≥ a, ahol a kiterjesztett valós szám, azaz −∞ ≤ a ≤ ∞. Ez a dominált konvergencia tételéből következik. Ez az a konstans az abszolút konvergencia abszcisszája, és f(t) növekedési tulajdonságától függ. Hasonlóan, a kétoldali Laplace-transzformált egy a < Re(s) < b sávban konvergál, amibe Re(s) = a és/vagy Re(s) = b is beletartozhat. Emellett lehet még beszélni az abszolút konvergencia sávjáról is, ami általában ennek valódi része. A Laplace-transzformált analitikus az abszolút konvergencia sávjában.

Ahol F(s) konvergens, de nem abszolút konvergens, az a feltételes konvergencia tartománya. Ha a Laplace-transzformált (feltételesen) konvergens s = s₀-ban, akkor konvergens minden s-re, amire Re(s) > Re(s₀). Így a konvergenciatartomány egy Re(s) > a alakú félsík, ami lehet, hogy tartalmazza a Re(s) = a egyenest. A Re(s) > Re(s₀) konvergenciatartományban f Laplace-transzformáltja kifejezhető parciális integrálként:

$F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.$

Így F(s) konvergenciatartományában egy hatékony képlettel fejezhető ki, mint egy másik függvény abszolút konvergens Laplace-transzformáltja, ezért analitikus is.

Több Paley–Wiener-tétel is kapcsolatot teremt f csökkenése és a Laplace-transzformált tulajdonságai között a konvergenciatartományban.

A mérnöki alkalmazásokban egy lineáris időinvariáns rendszernek megfelelő függvény stabil, ha korlátos bemenethez korlátos kimenetet ad.

Okság

Sok mérnöki és természettudományos alkalmazásban a t változó időt jelöl, és követelmény, hogy a későbbi időpontokbeli állapot ne hathasson vissza korábbra. Ez az okság elve. A kétoldali transzformációk nem teljesítik ezt a megkötést, emiatt ezek az alkalmazások inkább egyoldali transzformációkat használnak.

Források

• LePage, Wilbur R., Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980/
• Van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd ed., 1987.
• Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Two-sided Laplace transform című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.