A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Jacobi-polinomok a
intervallumon értelmezett ortogonális polinomok két paraméteres serege. Súlyfüggvényük
, ahol α, β > -1. A Jacobi-differenciálegyenlet megoldásai. Carl Gustav Jacob Jacobiról nevezték el őket.
A Jacobi-polinomok explicit alakja:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d300256b5937041d08607ee45aafae9e3c546e51)
vagy az 2F1 hipergeometrikus függvény segítségével
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={n+\alpha \choose n}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+n+\alpha +\beta ;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6187732397b2d5873cd0453810f525f412a14f98)
Az 1 helyettesítési értéke
.
Szimmetria: páros n-re páros, páratlan n-re páratlan függvények:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669afb438ba1382b65fd7dd27b9e7c27bf7db78d)
így a ‒1 helyettesítési értéke
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74d400c2b4a877084a6640c2d549661e3916a0a)
A Jacobi-polinomok
-adik deriváltja
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\;\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab545354b86b5738021667315c052cc2b4dde70b)
Néhány fontos polinom a Jacobi-polinomok speciális esetének tekinthető: