A Legendre-polinomok a Legendre-differenciálegyenlet partikuláris megoldásai. Speciális valós vagy komplex polinomok , amik ortogonális függvényrendszert alkotnak. Fontos szerepet játszanak az elméleti fizikában, különösen a kvantummechanikában és az elektrodinamikában . Adrien-Marie Legendre francia matematikus után kapták nevüket.
Adva legyen az [a,b ] intervallum, és egy rajta értelmezett
ϱ
(
x
)
{\displaystyle \varrho (x)}
P
n
∈
R
[
X
]
{\displaystyle P_{n}\in \mathbb {R} [X]}
∫
a
b
ϱ
(
x
)
P
n
(
x
)
P
m
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\varrho (x)\,P_{n}(x)\,P_{m}(x)\,{\rm {d}}x=0}
ortogonalitási relációt minden
m
,
n
∈
N
0
{\displaystyle m,n\in \mathbb {N} _{0}}
m
≠
n
{\displaystyle m\neq n}
Az
I
=
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle I=[-1,1]}
ϱ
(
x
)
=
1
{\displaystyle \varrho (x)=1}
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (x^{n})_{n\in \mathbb {N} }}
P
n
(
1
)
=
1
{\displaystyle P_{n}(1)=1}
A
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
(
1
−
x
2
)
f
″
−
2
x
f
′
+
n
(
n
+
1
)
f
=
0
,
n
∈
N
0
,
{\displaystyle (1-x^{2})\,f''-2x\,f'+n(n+1)\,f=0,\quad n\in \mathbb {N} _{0},}
amelynek ekvivalens alakja
d
d
x
[
(
1
−
x
2
)
f
′
(
x
)
]
+
n
(
n
+
1
)
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2})\,f'(x)\right]+n(n+1)\,f(x)=0}
A differenciálegyenlet megoldásának általános alakja
f
(
x
)
=
A
P
n
(
x
)
+
B
Q
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=A\,P_{n}(x)+B\,Q_{n}(x)}
ahol
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
Q
n
(
x
)
{\displaystyle Q_{n}(x)}
Az
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
Minden gyökük valós, és az I = [ − 1,1] intervallumban van. P n P n+1
Továbbá
P
n
(
1
)
=
1
{\displaystyle P_{n}(1)=1}
P
n
(
−
x
)
=
(
−
1
)
n
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}\,P_{n}(x)}
P
2
n
+
1
(
0
)
=
0
{\displaystyle P_{2\,n+1}(0)=0}
A Legendre-polinomok teljes ortogonális rendszert alkotnak a
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
−
1
1
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)g(x){\rm {d}}x}
V
:=
L
2
(
[
−
1
,
1
]
;
R
)
{\displaystyle V:=L^{2}([-1,1];\mathbb {R} )}
Az ortogonalitás azt jelenti, hogy
⟨
P
n
,
P
m
⟩
=
0
{\displaystyle \langle P_{n},P_{m}\rangle =0}
m
≠
n
{\displaystyle m\neq n}
∫
−
1
1
P
n
(
x
)
P
m
(
x
)
d
x
=
2
2
n
+
1
δ
n
m
{\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx\,=\,{\frac {2}{2n+1}}\delta _{nm}}
δ
n
m
{\displaystyle \delta _{nm}}
A teljesség azt jelenti, hogy minden
f
∈
V
{\displaystyle f\in V}
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
P
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\,P_{n}(x)}
a
c
n
=
2
n
+
1
2
∫
−
1
1
f
(
x
)
P
n
(
x
)
d
x
{\displaystyle c_{n}={\frac {2\,n+1}{2}}\,\int \limits _{-1}^{1}f(x)\,P_{n}(x)\,{\rm {d}}x}
A fizikában és a technikai irodalomban sokszor disztribúciós értelemben tekintik a teljességet:
∑
n
=
0
∞
2
n
+
1
2
P
n
(
x
′
)
P
n
(
x
)
=
δ
(
x
′
−
x
)
,
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2\,n+1}{2}}\,P_{n}(x')\,P_{n}(x)=\delta (x'-x),}
ahol
δ
{\displaystyle \delta }
Minden
x
∈
C
{\displaystyle x\in \mathbb {C} }
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
(
1
−
2
x
z
+
z
2
)
−
1
/
2
=
∑
n
=
0
∞
P
n
(
x
)
z
n
.
{\displaystyle (1-2xz+z^{2})^{-1/2}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)z^{n}\ .}
Itt a jobb oldali hatványsor konvergenciasugara 1.
Mindezek miatt a
z
↦
(
1
−
2
x
z
+
z
2
)
−
1
/
2
{\displaystyle z\mapsto (1-2xz+z^{2})^{-1/2}}
P
n
{\displaystyle P_{n}}
P
n
(
x
)
=
1
2
n
n
!
⋅
d
n
d
x
n
[
(
x
2
−
1
)
n
]
{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}\,n!}}\cdot {\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}
P
n
(
x
)
=
(
2
n
)
!
2
n
(
n
!
)
2
[
x
n
−
n
(
n
−
1
)
2
⋅
(
2
n
−
1
)
x
n
−
2
+
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
2
⋅
4
⋅
(
2
n
−
1
)
(
2
n
−
3
)
x
n
−
4
∓
⋯
]
{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2\cdot (2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4\cdot (2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}\mp \cdots \right]}
Minden
x
∈
C
∖
{
+
1
,
−
1
}
{\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \{+1,-1\}}
P
n
(
x
)
=
1
π
∫
0
π
[
x
+
x
2
−
1
cos
φ
]
n
d
φ
{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \varphi \right]^{n}\,\mathrm {d} \varphi }
A Legendre-polinomokra teljesülnek a következő rekurziók:
(
n
+
1
)
P
n
+
1
(
x
)
=
(
2
n
+
1
)
x
P
n
(
x
)
−
n
P
n
−
1
(
x
)
(
n
=
1
,
2
,
…
)
{\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n=1,2,\ldots )}
(
x
2
−
1
)
d
d
x
P
n
(
x
)
=
n
x
P
n
(
x
)
−
n
P
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle (x^{2}-1){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P_{n}(x)=nxP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}
Az első rekurzió n'=n+1 helyettesítéssel a következő alakba megy át:
n
P
n
(
x
)
=
(
2
n
−
1
)
x
P
n
−
1
(
x
)
−
(
n
−
1
)
P
n
−
2
(
x
)
(
n
=
2
,
3
,
…
)
{\displaystyle nP_{n}(x)=(2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n=2,3,\ldots )}
Differenciálással
y
′
=
n
x
n
−
1
=
n
x
−
1
y
{\displaystyle y'=nx^{n-1}=nx^{-1}y}
y
(
m
)
=
(
n
−
m
+
1
)
x
−
1
y
(
m
−
1
)
{\displaystyle y^{(m)}=(n-m+1)x^{-1}y^{(m-1)}}
Így adódik az a rekurzió, amely magába foglalja a Legendre-polinomok deriváltjait is:
(
n
−
m
)
P
n
(
m
)
(
x
)
=
(
2
n
−
1
)
x
P
n
−
1
(
m
)
(
x
)
−
(
n
−
1
+
m
)
P
n
−
2
(
m
)
(
x
)
(
n
,
m
=
0
,
1
,
…
)
{\displaystyle (n-m)P_{n}^{(m)}(x)=(2n-1)xP_{n-1}^{(m)}(x)-(n-1+m)P_{n-2}^{(m)}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n,m=0,1,\ldots )}
A kezdeti feltételek
P
m
(
m
)
(
x
)
=
(
2
m
)
!
2
m
m
!
{\displaystyle P_{m}^{(m)}(x)={(2m)! \over 2^{m}m!}}
P
m
+
1
(
m
)
(
x
)
=
(
2
m
+
1
)
!
2
m
m
!
{\displaystyle P_{m+1}^{(m)}(x)={(2m+1)! \over 2^{m}m!}}
m
=
0
{\displaystyle m=0}
A generátorfüggvény szingularitás analíziséből a következő aszimptotikus formulákhoz juthatunk:
P
n
(
cos
θ
)
∼
2
π
n
sin
θ
sin
(
(
n
+
1
2
)
θ
+
π
4
)
,
{\displaystyle P_{n}\left({\cos \theta }\right)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi n\sin \theta }}}\sin \left({\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)\theta +{\frac {\pi }{4}}}\right),}
P
n
(
cosh
θ
)
∼
2
π
n
sinh
θ
sinh
(
(
n
+
1
2
)
θ
)
,
{\displaystyle P_{n}\left({\cosh \theta }\right)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi n\sinh \theta }}}\sinh \left({\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)\theta }\right),}
amint
n
→
+
∞
{\displaystyle n\to +\infty }
θ
>
0
{\displaystyle \theta >0}
Az első néhány Legendre-polinom Az első néhány Legendre-polinom:
P
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle P_{0}(x)=1\,}
P
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle P_{1}(x)=x\,}
P
2
(
x
)
=
1
2
(
3
x
2
−
1
)
{\displaystyle P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)}
P
3
(
x
)
=
1
2
(
5
x
3
−
3
x
)
{\displaystyle P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x)}
P
4
(
x
)
=
1
8
(
35
x
4
−
30
x
2
+
3
)
{\displaystyle P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}
P
5
(
x
)
=
1
8
(
63
x
5
−
70
x
3
+
15
x
)
{\displaystyle P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)}
A Legendre-polinomok rekurziós képletei a másodfajú Legendre-függvényekre is teljesülnek. Így az első Legendre-függvényből kiindulva
Q
0
(
x
)
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
=
a
r
t
a
n
h
(
x
)
{\displaystyle Q_{0}(x)={\frac {1}{2}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)={\rm {artanh}}(x)}
Q
1
(
x
)
=
x
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
−
1
=
x
a
r
t
a
n
h
(
x
)
−
1
{\displaystyle Q_{1}(x)={\frac {x}{2}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)-1=x\,{\rm {artanh}}(x)-1}
Q
2
(
x
)
=
3
x
2
−
1
4
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
−
3
x
2
{\displaystyle Q_{2}(x)={\frac {3\,x^{2}-1}{4}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)-{\frac {3\,x}{2}}}
Q
3
(
x
)
=
5
x
3
−
3
x
4
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
−
5
x
2
2
+
2
3
{\displaystyle Q_{3}(x)={\frac {5\,x^{3}-3\,x}{4}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)-{\frac {5\,x^{2}}{2}}+{\frac {2}{3}}}
Abramowitz, M. ; Stegun, I. A. eds. (1972) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables . Dover. (V. cap. 8 e cap. 22 .)
Byerly, WE (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics
Todhunter, I. (1875) An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions [halott link
Heine, E. (1878) Handbuch der Kugelfunctionen, Theorie und Anwendungen (primera parte)
Heine, E. (1881) Handbuch der Kugelfunctionen Theorie und Anwendungen (seconda parte)
I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik - Table of Integrals, Series and Products , Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (eds.), Academic Press, ISBN 0-12-294757-6 .
Rogai, E. - Tabele şi formule matematice , Editura Tehnică, Bukarest, 1984 
![{\displaystyle P_{n}\in \mathbb {R} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee840442661e2d073eadbb276082fbb8b4b361e9)
![{\displaystyle I=[-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edb704e6cad4f0d3828511af70f70be8861ccab)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2})\,f'(x)\right]+n(n+1)\,f(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7124ea8382c2f37324871adec3984dbf217832a)
![{\displaystyle V:=L^{2}([-1,1];\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fb95919b12ba38e52bb364a5093cc0b0364657d)
![{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}\,n!}}\cdot {\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff8cbc40bd2b6fe23bee919076e11a5fc0b65fc)
![{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2\cdot (2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4\cdot (2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}\mp \cdots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b209d320448f020ee57e410756f03e064c44b57)
![{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \varphi \right]^{n}\,\mathrm {d} \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfd6ac09cbd19b4f9a050e77633ffcd557cef14)
