Ugrás a tartalomhoz

Iniciális és terminális objektumok

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A kategóriaelméletben az iniciális és terminális objektumok egymás duális fogalmai.

Definíciók

[szerkesztés]

Egy C kategóriában egy I objektum iniciális, ha C bármely X objektumából létezik pontosan egy IX morfizmus.

Duálisan, egy T objektum terminális, ha bármely X objektumra létezik pontosan egy XT morfizmus.

Ha egy objektum egyszerre iniciális és terminális, akkor zéró objektumnak mondjuk. Pontozott kategória alatt egy zéró objektummal ellátott kategóriát értünk.

Tulajdonságok

[szerkesztés]

Egy tetszőleges kategóriában nem feltétlenül léteznek iniciális és terminális objektumok. Viszont ha léteznek, akkor lényegében egyértelműek. Pontosabban, ha I1 és I2 két iniciális objektum, akkor létezik egy egyértelmű izomorfizmus. Megfordítva, ha I iniciális objektum, akkor minden I-vel izomorf objektum is iniciális. Ugyanez igaz a terminális objektumokra is.

Egy C kategória terminális objektumai definiálhatók az üres 0C diagram limeszeként is. A terminális objektum tekinthető üres produktumnak is. (Valóban, az üres kategória diszkrét, azaz a morfizmusai pontosan az identitások, és a produktum egy diszkrét kategória felett vett limesz.) Duálisan, az iniciális objektum 0C kolimesze, és tekinthető az üres koproduktumnak.

A fentiekből következik, hogy egy olyan funktor, ami limeszeket limeszekbe visz, a terminális objektumot terminális objektumba viszi; duálisan, egy kolimeszeket megőrző funktor az iniciális objektumot iniciális objektumba viszi.

Példák

[szerkesztés]
  • A halmazok kategóriájában az üres halmaz iniciális, és bármely egyelemű halmaz terminális.
  • A csoportok kategóriájában a triviális csoport zéró objektum.
  • A kategóriák kategóriájában az üres kategória (azaz amiben sem objektumok, sem morfizmusok nincsenek) iniciális.

Kapcsolódó fogalmak

[szerkesztés]

Források

[szerkesztés]

Fordítás

[szerkesztés]
  • Ez a szócikk részben vagy egészben az Initial and terminal objects című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.