Dualitás (kategóriaelmélet)

A kategóriaelméletben a dualitás egy C kategória és a C^op oppozit kategória tulajdonságai közötti összefüggés. Bármely, a C kategóriában megfogalmazott állításban megcserélve az összes morfizmus forrását és célját, valamint megfordítva a morfizmusok kompozícióinak sorrendjét, a C^op oppozit kategóriára vonatkozó ún. duális állítást kapunk. A dualitás mint olyan az a tény, hogy az állítások érvényessége invariáns ezen operációra nézve. Azaz ha egy állítás igaz C-ben, akkor a duális igaz C^op-ban, illetve ha hamis C-ben, akkor a duális hamis C^op-ban.

Ha C egy konkrét kategória (azaz hűségesen beágyazható a halmazok kategóriájába), akkor is előfordulhat, hogy C^op absztrakt kategória (azaz nincs ellátva egy beágyazással a halmazok kategóriájába). Ha ekkor D ekvivalens C^op-pal, akkor azt mondjuk, hogy C és D duálisak.

A C kategóriát önduálisnak nevezik, ha C és C^op ekvivalensek.^[1]

Példák

Egy $f\colon A\to B$ morfizmust akkor neveznek monomorfizmusnak, ha bármely g, h morfizmuspárra ha $f\circ g=f\circ h$ , akkor $g=h$ . Ennek duálisa, hogy $g\circ f=h\circ f$ -ből következik $g=h.$ Ha ez teljesül, az $f\colon B\to A$ morfizmust epimorfizmusnak nevezik. Tehát a monomorfizmus és az epimorfizmus duális tulajdonságok. Következésképpen a C kategória egy morfizmusa akkor és csak akkor monomorfizmus, ha a fordított morfizmus C^op-ban epimorfizmus.
A limesz és kolimesz duális fogalmak.

Jegyzetek

↑ Jiří Adámek. Locally Presentable and Accessible Categories. Cambridge University Press, 62. o. (1994). ISBN 978-0-521-42261-1

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dual (category theory) című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician, Second, New York, NY: Springer New York, 33. o. (1978. december 8.). ISBN 1441931236. OCLC 851741862
Awodey, Steve. Category theory, 2nd, Oxford: Oxford University Press, 53–55. o. (2010. december 8.). ISBN 978-0199237180. OCLC 740446073
Dual category. Encyclopedia of Mathematics. Springer. (Hozzáférés: 2022. január 9.)

[AdamekRosicky1994-1] Jiří Adámek. Locally Presentable and Accessible Categories. Cambridge University Press, 62. o. (1994). ISBN 978-0-521-42261-1

[1]